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Método de Thevenin

Problema n° 1

Metodología para resolver circuitos de corriente eléctrica por el sistema de Thevenin.

Empleando el método de Thevenin, calcular la caída de tensión en R6 y la potencia disipada en R8, verificar por otro método.

Desarrollo

Esquema de un circuito con fuente y resistencia:

Esquema de un circuito con fuente y resistencia

Solución

a.

Caída de tensión en R6:

I. Resistencia de Thevenin (se realiza cambio estrella triángulo).

RA = RAB·RAC/(RAB + RAC + RCB)

RB = RAB·RBC/(RAB + RAC + RCB)

RC = RCB·RAC/(RAB + RAC + RCB)

RAB = R3

RBC = R7

RCD = R1 + R8

RA = 8 Ω·25 Ω/(8 Ω + 25 Ω + 2 Ω) ⇒ RA = 5,715 Ω

RB = 8 Ω·2 Ω/(8 Ω + 25 Ω + 2 Ω) ⇒ RB = 0,457 Ω

Selección del circuito para reemplazar por estrella-triángulo
Selección del circuito para reemplazar por estrella-triángulo

Esquema del circuito para resolver por el método de Thevenin
Esquema del circuito para resolver por el método de Thevenin

RC = 2 Ω·25 Ω/(8 Ω + 25 Ω + 2 Ω) ⇒ RC = 1,429 Ω

Rx = RA + R2 + R5 ⇒ Rx = 5,715 Ω + 10 Ω + 10 Ω ⇒ Rx = 25,715 Ω Serie

Ry = RC + R9 + R4 ⇒ Ry = 1,429 Ω + 7 Ω + 5 Ω ⇒ Ry = 13,429 Ω Serie

1/Rz = (Rx + Ry)/Rx·Ry ⇒ Rz = 25,715 Ω·13,429 Ω/(25,715 Ω + 13,429 Ω) ⇒ Rz = 8,822 Ω Paralelo

Req = Rz + RB ⇒ Req = 8,822 Ω + 0,457 Ω ⇒ Req = 9,279 Ω ⇒ RTH = 9,279 Ω Serie

II. Caída de potencial de Thevenin (se aplica método de mallas).

(1) V1 + V3 = I1·(R1 + R3 + R8 + R7) - I2·(R1 + R8)

(2) V4 - V2 + V1 = I2·(R2 + R1 + R4 + R5 + R9 + R8) - I1·(R1 + R8)

Esquema del circuito para resolver por el método de mallas
Esquema del circuito para resolver por el método de mallas

(1) 20 V + 5 V = I1·(5 Ω + 8 Ω + 20 Ω + 2 Ω) - I2·(5 Ω + 20 Ω)

(2) 10 V - 30 V + 20 V = I2·(10 Ω + 5 Ω + 20 Ω + 7 Ω + 5 Ω + 10 Ω) - I1·(5 Ω + 20 Ω)

(1) 25 V = I1·35 Ω - I2·25 Ω Determinantes

(2) 0 V = - I1·25 Ω + I2·57 Ω

I1 = 1,040 A

I2 = 0,456 A

i1 = 0,58 A

i4 = 0,46 A

i8 = 0,58 A

i2 = 0,46 A

i5 = 0,46 A

i9 = 0,46 A

i3 = 1,04 A

i7 = 1,04 A

V12 = R7·i1 + R9·i2 + R4·i2 + V4 ⇒ V12 = 2 Ω·0,58 A + 7 Ω·0,46 A + 5 Ω·0,46 A + 10 V

V12 = V3 - R3·i1 + V2 - R2·i2 - R5·i2 ⇒ V12 = 5 V - 8 Ω·0,58 A + 30 V - 10 Ω·0,46 A - 10 Ω·0,46 A

V12 = 17,55 V

V12 = 17,55 V

VTH = 17,55 V

ITH = VTH/(RTH + R6) ⇒ ITH = 17,55 V/(9,279 Ω + 8 Ω) ⇒ ITH = 1,02 A

VR6 = R6·ITH ⇒ VR6 = 8 Ω·1,02 A ⇒ VR6 = 8,128 V

b.

Potencia en R8:

Esquema de un circuito con fuente y resistencia
Esquema de un circuito con fuente y resistencia

I. Caída de potencial de Thevenin (se aplica método de mallas).

(1) -V2 - V3 = I1·(R2 + R3 + R5 + R6) - I2·R4 ⇒ - 30 V - 5 V = I1·(10 Ω + 8 Ω + 8 Ω + 10 Ω) - I2·8 Ω

(2) V4 = I2·(R4 + R6 + R7 + R9) - I1·R4 ⇒ 10 V = - I1·8 Ω + I2·(5 Ω + 8 Ω + 2 Ω + 7 Ω)

(1) -35 V = I1·36 Ω - I2·8 Ω Determinantes

(2) 10 V = - I1·8 Ω + I2·22 Ω

I1 = 0,948 A

I2 = 0,110 A

i3 = 0,948 A

i4 = 0,110 A

i6 = 1,06 A

VAB = - V1 + R1·i1 + V2 - R2·i3 - R5·i3 + R4·i4 - V4 + R9·i4

VAB = - V1 + R1·i1 + V2 - R2·i3 - R5·i3- R6·i6 - R7·i4

VAB = -20 V + 30 V - 10 Ω·0,948 A - 10 Ω·0,948 A + 5 Ω·0,110 A - 10 V + 7 Ω·0,110 A ⇒ VAB = -17,64 V

VAB = -20 V + 30 V - 10Ω·0,948 A - 10 Ω·0,948 A - 8 Ω·1,06 A - 2 Ω·0,110 A ⇒ VAB = -17,64 V ⇒ VTH = 17,64 V

II. Esquema del circuito para resolver por el método de Thevenin
Esquema del circuito para resolver por el método de Thevenin

Resistencia por Thevenin (se realiza cambio estrella triángulo).

RC = R3·(R2 + R5)/(R2 + R3 + R5 + R6)

RD = R3·R6/(R2 + R3 + R5 + R6)

RE = R6·(R2 + R5)/(R2 + R3 + R5 + R6)

RC = 8 Ω·(10 Ω + 10 Ω)/(10 Ω + 8 Ω + 10 Ω + 8 Ω)

RD = 8 Ω·8 Ω/(10 Ω + 8 Ω + 10 Ω + 8 Ω)

RE = 8 Ω·(10 Ω + 10 Ω)/(10 Ω + 8 Ω + 10 Ω + 8 Ω)

RC = 4,44 Ω

RD = 1,78 Ω

RE = 4,44 Ω

RF = RD + R7 ⇒ RF = 1,78 Ω + 2 Ω ⇒ RF = 3,78 Ω Serie

RG = RE + R4 + R9 ⇒ RG = 4,44 Ω + 5 Ω + 7 Ω ⇒ RG = 16,44 Ω Serie

RH = RF·RG/(RF + RG) ⇒ RH = 3,78 Ω·16,44 Ω/(3,78 Ω + 16,44 Ω) ⇒ RH = 3,07 Ω Paralelo

Req = RC + RH + R1 ⇒ Req = 4,44 Ω + 3,07 Ω + 5 Ω ⇒ Req = 12,52 Ω ⇒ RTH = 12,52 Ω Serie

ITH = VTH/(RTH + R8) ⇒ ITH = 17,64 V/(12,52 Ω + 20 Ω) ⇒ ITH = 0,54 A

PR8 = R8·ITH² = 20 Ω·(0,54 A)² ⇒ PR8 = 5,884 W

c.

Verificación por el método de las mallas:

Esquema del circuito para resolver por el método de mallas
Esquema del circuito para resolver por el método de mallas

(1) V1 + V3 = I1·(R8 + R7 + R3 + R1) - I2·R3 - I3·R7

(2) -V2 - V3 = - I1·R3 + I2·(R6 + R5 + R3 + R2) - I3·R6

(3) V4 = - I1·R7 - I2·R6 + I1·(R6 + R7 + R9 + R4)

(1) 20 V + 5 V = I1·(20 Ω + 2 Ω + 8 Ω + 5 Ω) - I2·8 Ω - I3·2 Ω

(2) -30 V - 5 V = - I1·8 Ω + I2·(8 Ω + 10 Ω + 8 Ω + 10 Ω) - I3·8 Ω

(3) 10 V = - I1·2 Ω - I2·8 Ω + I1·(8 Ω + 2 Ω + 7 Ω + 5 Ω)

(1) 25 V = I1·35 Ω - I2·8 Ω - I3·2 Ω

(2) -35 V = - I1·8 Ω + I2·36 Ω - I3·8 Ω Determinante

(3) 10 V = - I1·2 Ω - I2·8 Ω + I1·22 Ω

I1 = 0,542 A
i1 = I1 = 0,542 A
i3 = i2 + i1 = 1,35 A
I2 = -0,805 A
i2 = I2 = 0,805 A
i6 = i2 + i4 = 1,02 A
I3 = 0,211 A
i4 = I3 = 0,211 A
i7 = i4- i1 = 0,33 A

VR6 = i6·R6 ⇒ VR6 = 1,02 A·8 Ω ⇒ VR6 = 8,128 V

PR8 = i1²·R8 ⇒ PR8 = (0,542 A)²·20 Ω ⇒ PR8 = 8,884 W

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