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Método de Thevenin

Problema n° 1

Metodología para resolver circuitos de corriente eléctrica por el sistema de Thevenin.

Empleando el método de Thevenin, calcular la caída de tensión en R₆ y la potencia disipada en R₈, verificar por otro método.

Desarrollo

Esquema de un circuito con fuente y resistencia:

Solución

a.

Caída de tensión en R₆:

I. Resistencia de Thevenin (se realiza cambio estrella triángulo).

R_A = R_AB·R_AC/(R_AB + R_AC + R_CB)

R_B = R_AB·R_BC/(R_AB + R_AC + R_CB)

R_C = R_CB·R_AC/(R_AB + R_AC + R_CB)

R_AB = R₃

R_BC = R₇

R_CD = R₁ + R₈

R_A = 8 Ω·25 Ω/(8 Ω + 25 Ω + 2 Ω) ⇒ R_A = 5,715 Ω

R_B = 8 Ω·2 Ω/(8 Ω + 25 Ω + 2 Ω) ⇒ R_B = 0,457 Ω

Selección del circuito para reemplazar por estrella-triángulo

Esquema del circuito para resolver por el método de Thevenin

R_C = 2 Ω·25 Ω/(8 Ω + 25 Ω + 2 Ω) ⇒ R_C = 1,429 Ω

R_x = R_A + R₂ + R₅ ⇒ R_x = 5,715 Ω + 10 Ω + 10 Ω ⇒ R_x = 25,715 Ω Serie

R_y = R_C + R₉ + R₄ ⇒ R_y = 1,429 Ω + 7 Ω + 5 Ω ⇒ R_y = 13,429 Ω Serie

1/R_z = (R_x + R_y)/R_x·R_y ⇒ R_z = 25,715 Ω·13,429 Ω/(25,715 Ω + 13,429 Ω) ⇒ R_z = 8,822 Ω Paralelo

R_eq = R_z + R_B ⇒ R_eq = 8,822 Ω + 0,457 Ω ⇒ R_eq = 9,279 Ω ⇒ R_TH = 9,279 Ω Serie

II. Caída de potencial de Thevenin (se aplica método de mallas).

(1) V₁ + V₃ = I₁·(R₁ + R₃ + R₈ + R₇) - I₂·(R₁ + R₈)

(2) V₄ - V₂ + V₁ = I₂·(R₂ + R₁ + R₄ + R₅ + R₉ + R₈) - I₁·(R₁ + R₈)

Esquema del circuito para resolver por el método de mallas

(1) 20 V + 5 V = I₁·(5 Ω + 8 Ω + 20 Ω + 2 Ω) - I₂·(5 Ω + 20 Ω)

(2) 10 V - 30 V + 20 V = I₂·(10 Ω + 5 Ω + 20 Ω + 7 Ω + 5 Ω + 10 Ω) - I₁·(5 Ω + 20 Ω)

(1) 25 V = I₁·35 Ω - I₂·25 Ω Determinantes

(2) 0 V = - I₁·25 Ω + I₂·57 Ω

I₁ = 1,040 A

I₂ = 0,456 A

i₁ = 0,58 A

i₄ = 0,46 A

i₈ = 0,58 A

i₂ = 0,46 A

i₅ = 0,46 A

i₉ = 0,46 A

i₃ = 1,04 A

i₇ = 1,04 A

V₁₂ = R₇·i₁ + R₉·i₂ + R₄·i₂ + V₄ ⇒ V₁₂ = 2 Ω·0,58 A + 7 Ω·0,46 A + 5 Ω·0,46 A + 10 V

V₁₂ = V₃ - R₃·i₁ + V₂ - R₂·i₂ - R₅·i₂ ⇒ V₁₂ = 5 V - 8 Ω·0,58 A + 30 V - 10 Ω·0,46 A - 10 Ω·0,46 A

V₁₂ = 17,55 V

V₁₂ = 17,55 V

V_TH = 17,55 V

I_TH = V_TH/(R_TH + R₆) ⇒ I_TH = 17,55 V/(9,279 Ω + 8 Ω) ⇒ I_TH = 1,02 A

V_R6 = R₆·I_TH ⇒ V_R6 = 8 Ω·1,02 A ⇒ V_R6 = 8,128 V

b.

Potencia en R₈:

Esquema de un circuito con fuente y resistencia

I. Caída de potencial de Thevenin (se aplica método de mallas).

(1) -V₂ - V₃ = I₁·(R₂ + R₃ + R₅ + R₆) - I₂·R₄ ⇒ - 30 V - 5 V = I₁·(10 Ω + 8 Ω + 8 Ω + 10 Ω) - I₂·8 Ω

(2) V₄ = I₂·(R₄ + R₆ + R₇ + R₉) - I₁·R₄ ⇒ 10 V = - I₁·8 Ω + I₂·(5 Ω + 8 Ω + 2 Ω + 7 Ω)

(1) -35 V = I₁·36 Ω - I₂·8 Ω Determinantes

(2) 10 V = - I₁·8 Ω + I₂·22 Ω

I₁ = 0,948 A

I₂ = 0,110 A

i₃ = 0,948 A

i₄ = 0,110 A

i₆ = 1,06 A

V_AB = - V₁ + R₁·i₁ + V₂ - R₂·i₃ - R₅·i₃ + R₄·i₄ - V₄ + R₉·i₄

V_AB = - V₁ + R₁·i₁ + V₂ - R₂·i₃ - R₅·i₃- R₆·i₆ - R₇·i₄

V_AB = -20 V + 30 V - 10 Ω·0,948 A - 10 Ω·0,948 A + 5 Ω·0,110 A - 10 V + 7 Ω·0,110 A ⇒ V_AB = -17,64 V

V_AB = -20 V + 30 V - 10Ω·0,948 A - 10 Ω·0,948 A - 8 Ω·1,06 A - 2 Ω·0,110 A ⇒ V_AB = -17,64 V ⇒ V_TH = 17,64 V

II.
Esquema del circuito para resolver por el método de Thevenin

Resistencia por Thevenin (se realiza cambio estrella triángulo).

R_C = R₃·(R₂ + R₅)/(R₂ + R₃ + R₅ + R₆)

R_D = R₃·R₆/(R₂ + R₃ + R₅ + R₆)

R_E = R₆·(R₂ + R₅)/(R₂ + R₃ + R₅ + R₆)

R_C = 8 Ω·(10 Ω + 10 Ω)/(10 Ω + 8 Ω + 10 Ω + 8 Ω)

R_D = 8 Ω·8 Ω/(10 Ω + 8 Ω + 10 Ω + 8 Ω)

R_E = 8 Ω·(10 Ω + 10 Ω)/(10 Ω + 8 Ω + 10 Ω + 8 Ω)

R_C = 4,44 Ω

R_D = 1,78 Ω

R_E = 4,44 Ω

R_F = R_D + R₇ ⇒ R_F = 1,78 Ω + 2 Ω ⇒ R_F = 3,78 Ω Serie

R_G = R_E + R₄ + R₉ ⇒ R_G = 4,44 Ω + 5 Ω + 7 Ω ⇒ R_G = 16,44 Ω Serie

R_H = R_F·R_G/(R_F + R_G) ⇒ R_H = 3,78 Ω·16,44 Ω/(3,78 Ω + 16,44 Ω) ⇒ R_H = 3,07 Ω Paralelo

R_eq = R_C + R_H + R₁ ⇒ R_eq = 4,44 Ω + 3,07 Ω + 5 Ω ⇒ R_eq = 12,52 Ω ⇒ R_TH = 12,52 Ω Serie

I_TH = V_TH/(R_TH + R₈) ⇒ I_TH = 17,64 V/(12,52 Ω + 20 Ω) ⇒ I_TH = 0,54 A

P_R8 = R₈·I_TH² = 20 Ω·(0,54 A)² ⇒ P_R8 = 5,884 W

c.

Verificación por el método de las mallas:

Esquema del circuito para resolver por el método de mallas

(1) V₁ + V₃ = I₁·(R₈ + R₇ + R₃ + R₁) - I₂·R₃ - I₃·R₇

(2) -V₂ - V₃ = - I₁·R₃ + I₂·(R₆ + R₅ + R₃ + R₂) - I₃·R₆

(3) V₄ = - I₁·R₇ - I₂·R₆ + I₁·(R₆ + R₇ + R₉ + R₄)

(1) 20 V + 5 V = I₁·(20 Ω + 2 Ω + 8 Ω + 5 Ω) - I₂·8 Ω - I₃·2 Ω

(2) -30 V - 5 V = - I₁·8 Ω + I₂·(8 Ω + 10 Ω + 8 Ω + 10 Ω) - I₃·8 Ω

(3) 10 V = - I₁·2 Ω - I₂·8 Ω + I₁·(8 Ω + 2 Ω + 7 Ω + 5 Ω)

(1) 25 V = I₁·35 Ω - I₂·8 Ω - I₃·2 Ω

(2) -35 V = - I₁·8 Ω + I₂·36 Ω - I₃·8 Ω Determinante

(3) 10 V = - I₁·2 Ω - I₂·8 Ω + I₁·22 Ω

V_R6 = i₆·R₆ ⇒ V_R6 = 1,02 A·8 Ω ⇒ V_R6 = 8,128 V

P_R8 = i₁²·R₈ ⇒ P_R8 = (0,542 A)²·20 Ω ⇒ P_R8 = 8,884 W

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