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Error absoluto y error relativo AP02

Contenido: Error absoluto y error relativo. Cálculo de error. Empleo de cifras significativas ¿Qué es un error relativo? ¿Cuál es el porcentaje de error?

ERRORES

Error absoluto y error relativo

Como consecuencia de la existencia de diferentes fuentes de error, el científico se plantea por sistema hasta qué punto o en qué grado los resultados obtenidos son fiables,esto es, dignos de confianza. Por ello, al resultado de una medida se le asocia un valor complementario que indica la calidad de la medida o su grado de precisión. Los errores o imprecisiones en los resultados se expresan matemáticamente bajo dos formas que se denominan error absoluto y error relativo. Se define el error absoluto ΔE, como la diferencia entre el resultado de la medida M y el verdadero valor m0 de la magnitud a medir

ΔE = M - m0

El error relativo Er es el cociente entre el error absoluto ΔE y el verdadero valor. Cuando se expresa en tanto por ciento su expresión es

Er(%) = ΔE.100/m0

En sentido estricto tales definiciones son únicamente aplicables cuando se refieren no a medidas físicas propiamente, sino a operaciones matemáticas, ya que el valor exacto de una magnitud no es accesible. Por ello, con frecuencia se prefiere hablar de incertidumbres en lugar de errores. En tal caso se toma como m el valor que más se aproxima al verdadero, es decir,valor medio obtenido al repetir varias veces la misma medida.

Cifras significativas

Los científicos procuran que sus datos experimentales no digan más de lo que pueden decir según las condiciones de medida en los que fueron obtenidos. Por ello ponen cuidado en el número de cifras con que expresar el resultado de una medida con el propósito de incluir sólo aquellas que tienen algún significado experimental. Tales cifras reciben el nombre de cifras significativas. Una cifra es significativa cuando se conoce con una precisión aceptable. Así, cuando se mide con un termómetro que aprecia hasta 0,1 °C no tiene ningún sentido que se escriban resultados del tipo 36,25 °C o 22,175 °C,por ejemplo.

Todas las cifras que figuran en un resultado deben ser significativas. Este mismo criterio general debe respetarse cuando se opera con datos experimentales; es una cuestión de sentido común que por el simple hecho de operar con los números no es posible mejorar la precisión de los resultados si éstos tienen una base experimental. Cuando un resultado se escribe de modo que todas sus cifras sean significativas proporciona por sí mismo información sobre la precisión de la medida.

CALCULO DE ERRORES

Si las fuentes de error son únicamente de carácter aleatorio,es decir, si influyen unas veces por exceso y otras por defecto en el resultado de la medida, puede demostrarse que el valor que más se aproxima al verdadero valor es precisamente el valor medio. Ello es debido a que al promediar todos los resultados, los errores por exceso tenderán a compensarse con los errores por defecto y ello será tanto más cierto cuanto mayor sea el número de veces que se repita la medida. Por esta razón el procedimiento habitual para establecer un valor fiable de una cantidad M y de su incertidumbre correspondiente es el siguiente:

1. Repetir n veces la operación de medida de M y anotar los resultados M1, M2 ... Mn

2. Calcular la media aritmética M de todos ellos

M = (M1 + M2 + ... + Mn)/n

3. Calcular la desviación media ΔM, es decir, la media aritmética de los valores absolutos de las desviaciones de los diferentes resultados de la medida respecto de su media M:

El tomar los valores absolutos y no su signo equivale a situarse deliberadamente en la situación más desventajosa en la que los errores no se cancelan entre sí.

4. Considerar ΔM como una cota o límite del error, de modo que el verdadero valor M de la magnitud medida estará comprendido entre los valores extremos M - ΔM y M + ΔM

M - ΔM < M < M + ΔM

5. Expresar el resultado en la forma:

M ± ΔM

En ocasiones, si se trabaja con un número n de medidas elevado resulta útil disponer los resultados y sus errores ordenadamente en forma de tabla. En el ejemplo que sigue se recoge la medida del tiempo de caída de una bola realizada por un cronómetro que aprecia hasta la doble décima de segundo.

Empleo de cifras significativas

Para manejar correctamente los resultados expresados mediante cifras significativas es necesario seguir las siguientes reglas:

a) Cuando los ceros figuran como primeras cifras de un resultado no son considerados como cifras significativas, por ello el número de cifras significativas de un resultado es el mismo, cualquiera que sea la unidad en la que se exprese. Así, por ejemplo, si se desea expresar en metros el resultado de medir una longitud l de 3,2 cm con una regla que aprecie hasta el milímetro se tendrá:

I = 3,2 cm = 0,032 m

y el resultado seguirá teniendo dos cifras significativas. Por esta razón se acostumbra a escribirlo recurriendo a las potencias de 10:

I = 3,2.10-2 m

b) Cuando los ceros figuran como últimas cifras de números enteros, ello no implica que deban ser considerados, necesariamente, como cifras significativas. Así, por ejemplo,cuando se expresa la anterior cantidad en micras resulta I = 32 000 μ (1 μ = 1 milésima parte del mm = 10-3 mm); ello no quiere decir que el resultado tenga cinco cifras significativas, sino sólo dos en este caso. Para evitar este tipo de confusiones lo más apropiado es escribir el dato recurriendo, de nuevo, a las potencias de 10:

I = 3,2.10-5

Es posible preguntarse cómo arrastrar las cifras significativas en operaciones tales como la multiplicación o la división. Cuando se dispone de una calculadora electrónica parece como si se estuviera tentado a escribir los resultados con tantas cifras decimales como aparecen en pantalla,pero esto la mayoría de las veces carece de sentido. Valga como ejemplo el siguiente caso:

Se desea encontrar cuál es la superficie de una tira de papel. Se mide su longitud y su anchura utilizando una regla que aprecia hasta los milímetros y se obtiene 53,2 y 4,1 cm respectivamente. Multiplicando ambos resultados resulta:

S = 53,2.4,1 = 218,12 cm²

Pero ¿cuántas de estas cifras son verdaderamente significativas? la regla que sigue es la siguiente: el número de cifras significativas de un producto (o de un cociente) entre datos que corresponden a resultados de medidas no puede ser superior al de cualquiera de los factores. En el presente caso 4,1 tiene dos cifras significativas, luego el resultado en rigor se escribiría como:

S = 220 cm² = 22.10 cm²

Cuando como en este ejemplo es preciso redondear alguna cifra por no resultar significativa, se desprecia si es igual o interior a la mitad del valor de la unidad de la última cifra significativa y si es superior se considera ésta incrementada en una unidad. Dado que en el presente ejemplo 8 está por encima de la mitad de unidad de las decenas (10/2) se ha escrito el resultado como 220 cm² y no como 210 cm².

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