Energía mecánica. AP06

Contenido: Resumen de la obtención de la ecuación de la energía mecánica.

Energía mecánica

Resumen de la obtención de la ecuación de la energía mecánica.

Energía cinética

Para demostrar el teorema de la energía mecánica con rozamiento (fuerzas no conservativas) partiremos del trabajo aplicado a una masa sobre una línea recta, luego definiremos la energía cinética y la potencial.

La definición de fuerza es:

F = m·a

El trabajo de una fuerza es:

L = F·d

Como hay aceleración la velocidad varía, entonces recurrimos a la 3° ecuación de cinemática para MUV:

v2² - v1² = 2·a·d

Despejamos la aceleración y reemplazamos en la ecuación de fuerza:

Aceleración despejada de la ecuación de cinemática para MUV

Fuerza expresada según la ecuación de cinemática para MUV

Acomodamos los términos convenientemente:

Trabajo de una fuerza expresada según la ecuación de cinemática para MUV

Donde F·d es el trabajo de la fuerza para desplazar la masa.

Trabajo de una fuerza expresada según la ecuación de cinemática para MUV

Aplicamos la propiedad distributiva:

Trabajo de una fuerza expresado en función de la velocidad

L = ½·m·v2² - ½·m·v1²

A estos nuevos términos se los define como energía cinética, la ecuación completa es la energía mecánica o el trabajo producido por la variación de la energía cinética entre los puntos 1 y 2.

Ec 1 = ½·m·v1²

Ec 2 = ½·m·v2²

Finalmente, la energía mecánica es (sólo con variación de energía cinética):

ΔEM = L = ΔEc = Ec 2 - Ec 1

Energía potencial

Analicemos el caso particular de la fuerza "peso", que produce un movimiento únicamente vertical (arriba y abajo), por definición:

P = m·g

Dónde g es la aceleración de la gravedad. El trabajo de la fuerza peso será:

L = m·g·d

Pero reemplazamos d por h de altura:

L = m·g·h

Si la masa cambia de posición (altura) desde la posición 1 a la 2, entonces el trabajo será:

L = m·g·(h2 - h1)

Aplicando distributiva:

L = m·g·h2 - m·g·h1

A estos términos se los define como energía potencial, ahora la ecuación completa es la energía mecánica o el trabajo producido por la variación de la energía potencial entre las alturas 1 y 2.

Ep 1 = m·g·h1

Ep 2 = m·g·h2

Finalmente, la energía mecánica es (sólo con variación de energía potencial - cambio de altura):

ΔEM = L = ΔEp = Ep 2 - Ep 1

Energía mecánica

El trabajo total para el caso de una masa en movimiento rectilíneo combinado horizontal-vertical, tenemos que resulta la suma de todos los trabajos:

L = Lx + Ly

De las ecuaciones anteriores:

L = (Ec 2 - Ec 1) + (Ep 2 - Ep 1)

Entonces la energía mecánica es:

ΔEM = L = (Ec 2 - Ec 1) + (Ep 2 - Ep 1)

ΔEM = ΔEc + ΔEp = 0

La variación de la energía mecánica es nula porque solo intervienen fuerzas conservativas.

Energía mecánica para fuerzas no conservativas o disipativas

Sólo lo demostraré para el caso del trabajo de la fuerza de rozamiento.

La fuerza de rozamiento es:

FR = μ·N

Siendo:

ยต = coeficiente de rozamiento.

N = fuerza normal al plano, es la "componente" fuerza peso inversa al plano (reacción).

Dependiendo de la inclinación del plano con respecto a la horizontal, la componente de la fuerza peso varía, entonces a N la podemos expresar como:

N = P·sen α

Siendo α el ángulo que forma el plano con la horizontal.

El trabajo de la fuerza de rozamiento será:

LR = μ·N·d

LR = μ·P·(sen α)·d

La última expresión se puede considerar como el calor "disipado" por el rozamiento entre la superficie del plano y la masa. Es pérdida.

Finalmente la variación de la energía mecánica o el trabajo total es:

ΔEM = ΔEc + ΔEp - LR = 0

O

ΔEc + ΔEp = LR

Demostración solicitada por Naren Jaffart Jassir Botello, realizada en forma simple, carente de gráfico y detalles.

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