Física - Movimiento oscilatorio

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Apunte: Dinámica del oscilador armónico simple. Energía del oscilador armónico simple. Energía mecánica total.

El oscilador armónico simple

Dinámica del oscilador armónico simple

Supongamos un oscilador que consiste en un cuerpo unido a un muelle horizontal. Cuando el cuerpo es apartado de la posición de equilibrio, la F _restauradora = -K.x tiende a devolverlo en dicha posición

Esta fuerza producirá una aceleración ma m.a= -K.x a = -(K/m).x Como a = -w².x -w².x = -(K/m).x w = √K/m

La fuerza que produce un MAS es una fuerza central, dirigida hacia el punto de equilibrio y proporcional a la distancia a este.

Como w = 2.π/T

T = 2.π/W = 2.π.√m/K

El periodo de un oscilador armónico depende de la masa del oscilador y de la cte restauradora del sistema, pero es independiente de la amplitud.

La f sería

f = √K/m/(2.π)

Ver ejemplo n° 1

Energía del oscilador armónico simple

Energía cinética; la energía cinética de una masa m con un MAS es:

E_c = ½.m.v².

Como v = -w.A.sen (w.t + δ)

E_c = ½.m.w².A².sen² (w.t + δ).

Como w² = K/m

Ec = ½.K.A².sen² (w.t + δ)

La energía cinética de un oscilador armónico varía periódicamente entre un valor mínimo en los extremos (Ec = 0) y máximo en la posición de equilibrio: Ec = ½.K.A²

Energía potencial; Sabemos que W = -A.E_p. Si tenemos un cuerpo unido a un resorte que oscila horizontalmente sin fricción. El W al desplazar el cuerpo desde x hasta una posición de equilibrio es:

w = -A.E_p = -(E_p.C₀) - E_p(x) = E_p(x)

E_p(x) = ½.K.x²

Como x = A.cos (w.t + δ)

Ep = ½.K.A².cos² (w.t + δ)

La energía potencial de un oscilador armónico varia desde un valor mínimo en la posición de equilibrio (Ep = 0) a un valor máximo en los extremos: Ep = ½.K.A²

Energía mecánica total;

E = E_p + E_c

E = ½.K.A².cos² (w.t + δ) + ½.K.A².sen² (w.t + δ)

E = ½.K.A².[cos² (w.t + δ) + sen² (w.t + δ)] E = ½.K.A²

La energía mecánica de un oscilador armónico permanece constante si no actúan fuerzas disipativas y su valor es directamente proporcional al cuadrado de la amplitud: E = ½.K.A²

Ver ejemplo n° 2