Problema n° 8 de tiro vertical - TP17
Enunciado del ejercicio n° 8
Se lanza un balón verticalmente hacia arriba con una velocidad v0, t segundos después, y desde la misma altura se lanza un segundo balón también verticalmente hacia arriba a igual velocidad v0.
Calcular cuánto tiempo medido a partir del lanzamiento del segundo balón, se demora la colisión entre ellos.
Desarrollo
Fórmulas:
y = v0·t + ½·g·t²
Solución
Ambos balones partieron con la misma velocidad inicial, por lo tanto, lo balones colisionaran luego de que el primero alcance su altura máxima y se encuentre de regreso, asumiendo que ambos balones sigan la misma trayectoria.
Para el primer balón:
y1 = v10·t1 + ½·g·t1² [1]
Para el segundo balón:
y2 = v20·t2 + ½·g·t2² [2]
Pero:
v10 = v20
Entonces:
y1 = v0·t1 + ½·g·t1² [1]
y2 = v0·t2 + ½·g·t2² [2]
Debemos tener en cuenta que:
t = t1 - t2 (t es el tiempo buscado)
Despejamos t1 y la reemplazamos en la ecuación [1]:
t1 = t + t2
y1 = v0·(t + t2) + ½·g·(t + t2)² [1]
y2 = v0·t2 + ½·g·t2² [2]
Cuando la posición y2 = y1 (pero en sentido contrario), ocurrirá el encuentro:
v0·t2 + ½·g·t2² = v0·(t + t2) + ½·g·(t + t2)²
Trabajamos algebraicamente:
v0·t2 + ½·g·t2² = v0·(t + t2) + ½·g·(t² + 2·t·t2 + t2²)
v0·t2 + ½·g·t2² = v0·t + v0·t2 + ½·g·t² + ½·g·2·t·t2 + ½·g·t2²
0 = v0·t + ½·g·t² + g·t·t2
0 = v0·t + g·t·t2 + ½·g·t²
Y obtenemos una ecuación de segundo grado:
0 = (v0 + g·t2)·t + ½·g·t²
Aplicamos la ecuación cuadrática (Báscara o Bhaskara) que dará dos resultados:
| ta,b = | -(v0 + g·t2) ± √(v0 + g·t2)² - 4·½·g·0 |
| 2·½·g |
| ta,b = | -(v0 + g·t2) ± √(v0 + g·t2)² - 0 |
| g |
| ta,b = | -(v0 + g·t2) ± √(v0 + g·t2)² |
| g |
| ta,b = | -(v0 + g·t2) ± (v0 + g·t2) |
| g |
Separamos las ecuaciones una por cada signo y resolvemos:
| ta = | -(v0 + g·t2) + (v0 + g·t2) |
| g |
| ta = | 0 |
| g |
ta = 0
| tb = | -(v0 + g·t2) - (v0 + g·t2) |
| g |
| tb = | -2·(v0 + g·t2) |
| g |
Por lo tanto ta se descarta porque sería el mismo instante.
tb es el valor buscado, lo expresamos:
| tb = | -2·(v0 + g·t2) |
| g |
Enviado por: @sebastiayala.
Ejemplo, cómo calcular el tiempo en el movimiento uniforme variado. Nivel medio, secundaria, bachillerato, ESO.
Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)
San Martín. Buenos Aires. Argentina.
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