Problema n° 8 de impulso y cantidad de movimiento.

Problema n° 8) Un cuerpo de masa m₁ = 2 kg se desliza sobre una mesa horizontal sin fricción con una velocidad inicial v_1i = 10 m/s, frente a él moviéndose en la misma dirección y sentido se encuentre el cuerpo de masa m₂ = 5 kg cuya velocidad inicial es v_2i = 3 m/s, éste tiene adosado un resorte en su parte posterior, cuya constante elástica es k = 1.120 N/m, ¿cuál será la máxima compresión del resorte cuando los cuerpos choquen?

Esquema de las fuerzas y las masas en una colisión

Desarrollo

Datos:

Fórmulas:

Solución

Δp_i = Δp_f

p_1i + p_2i = p_1f + p_2f

m₁·v_1i + m₂·v_2i = m₁·v_1f + m₂·v_2f

m₁·v_1i + m₂·v_2i = (m₁ + m₂)·v_f

v_f = (m₁·v_1i + m₂·v_2i)/(m₁ + m₂)

v_f = (2 kg·10 m/s + 5 kg·3 m/s)/(2 kg + 5 kg)

v_f = 5 m/s (4)

La fuerza elástica del resorte será:

F = k·Δx

Y la energía cinética almacenada en el instante de máxima compresión es:

E_c = m·v_f²/2

Pero la energía cinética es igual al trabajo realizado por la fuerza del resorte:

E_c = L

E_c = F·Δx

E_c = k·Δx·Δx

E_c = k·Δx²

m·v_f²/2 = k·Δx²

m·v_f²/2·k = Δx²

Para el caso:

(m₁ + m₂)·v_f²/2·k = Δx²

De la ecuación (4):

Δx² = [(2 kg + 5 kg)·(5 m/s)²/2]/1.120 N/m

Δx² = (87,5 kg·m²/s²)/1.120 N/m

Resultado, la máxima compresión del resorte es:

Δx = 0,28 m