El oscilador armónico simple

Dinámica del oscilador armónico simple

Supongamos un oscilador que consiste en un cuerpo unido a un muelle horizontal. Cuando el cuerpo es apartado de la posición de equilibrio, la F_restauradora = -K·x tiende a devolverlo en dicha posición

Representación de un resorte

Esta fuerza producirá una aceleración ma m·a = -K·x a = -(K/m)·x Como a = -w²·x -w²·x = -(K/m)·x w = √K/m

La fuerza que produce un movimiento oscilatorio armónico simple es una fuerza central, dirigida hacia el punto de equilibrio y proporcional a la distancia a este.

Como w = 2·π/T

T = 2·π/W = 2·π·√m/K

El período de un oscilador armónico depende de la masa del oscilador y de la constante restauradora del sistema, pero es independiente de la amplitud.

La f sería

f = √K/m/(2·π)

Ver ejemplo n° 1

Energía del oscilador armónico simple

Energía cinética; la energía cinética de una masa m con un movimiento oscilatorio armónico simple es:

E_c = ½·m·v²

Como v = -w·A·sen (w·t + δ)

E_c = ½·m·w²·A²·sen² (w·t + δ).

Como w² = K/m

Energía potencial; Sabemos que W = -A·E_p. Si tenemos un cuerpo unido a un resorte que oscila horizontalmente sin fricción. El W al desplazar el cuerpo desde x hasta una posición de equilibrio es:

w = -A·E_p = -(E_p·C₀) - E_p(x) = E_p(x)

E_p(x) = ½·K·x²

Como x = A·cos (w·t + δ)

Energía mecánica total:

E = E_p + E_c

E = ½·K·A²·cos² (w·t + δ) + ½·K·A²·sen² (w·t + δ)

Ver ejemplo n° 2