Ejemplo, cálculos de transferencia de calor y equilibrio térmico

Problema n° 4 de calorimetría

Enunciado del ejercicio n° 4

Un recipiente de aluminio de 500 g de masa contiene 117,5 g de agua a 20 °C. Se deja caer dentro del recipiente un bloque de hierro de 200 g de masa a 75 °C. Calcular la temperatura final del conjunto, suponiendo que no hay intercambio de calor con el entorno.

Desarrollo

Datos:

m₁ = 500 g = 0,5 kg (aluminio)

m₂ = 117,5 g = 0,1175 kg (agua)

t_i1 = t_i2 = 20 °C (aluminio + agua)

m₃ = 200 g = 0,20 kg (hierro)

t_i3 = 75 °C

c_e1 = 0,215 kcal/kg·°C (aluminio)

c_e2 = 1 kcal/kg·°C (agua)

c_e3 = 0,113 kcal/kg·°C (hierro)

Fórmulas:

Q = c_e·m·(t_f - t_i) (1)

∑Q = 0 (condición de equilibrio térmico)

Solución

El enunciado condiciona a que "no hay intercambio de calor con el medio", entonces podemos plantear el problema como si el proceso ocurriera en un calorímetro. Expresamos la condición de equilibrio con las 3 ecuaciones de cantidad de calor y con los signos correspondientes:

∑Q = 0

∑Q = c_e1·m₁·(t_f1 - t_i1) + c_e2·m₂·(t_f2 - t_i2) + c_e3·m₃·(t_f3 - t_i3) = 0

Sabiendo que:

t_i1 = t_i2 = t_i0 (aluminio + agua)

t_f1 = t_f2 = t_f3 = t_f (misma temperatura final para todos los componentes)

c_e1·m₁·(t_f - t_i0) + c_e2·m₂·(t_f - t_i0) + c_e3·m₃·(t_f - t_i3) = 0

También sabemos que la temperatura final del hierro es menor a su temperatura inicial:

c_e1·m₁·(t_f - t_i0) + c_e2·m₂·(t_f - t_i0) - c_e3·m₃·(t_i3 - t_f) = 0

Ahora a trabajar algebraicamente la expresión anterior para despejar t_f:

c_e1·m₁·t_f - c_e1·m₁·t_i0 + c_e2·m₂·t_f - c_e2·m₂·t_i0 - c_e3·m₃·t_i3 - c_e3·m₃·(- t_f) = 0

c_e1·m₁·t_f - c_e1·m₁·t_i0 + c_e2·m₂·t_f - c_e2·m₂·t_i0 - c_e3·m₃·t_i3 + c_e3·m₃·t_f = 0

c_e1·m₁·t_f + c_e2·m₂·t_f + c_e3·m₃·t_f = c_e1·m₁·t_i0 + c_e2·m₂·t_i0 + c_e3·m₃·t_i3

(c_e1·m₁ + c_e2·m₂ + c_e3·m₃)·t_f = c_e1·m₁·t_i0 + c_e2·m₂·t_i0 + c_e3·m₃·t_i3

t_f = (c_e1·m₁·t_i0 + c_e2·m₂·t_i0 + c_e3·m₃·t_i3)/(c_e1·m₁ + c_e2·m₂ + c_e3·m₃)

Reemplazamos por los datos:

t_f = [(0,215 kcal/kg·°C)·0,5 kg·20 °C + (1 kcal/kg·°C)·0,1175 kg·20 °C + (0,113 kcal/kg·°C)·0,2 kg·75 °C)]/[(0,215 kcal/kg·°C)·0,5 kg + (1 kcal/kg·°C)·0,1175 kg + (0,113 kcal/kg·°C)·0,2 kg)]

t_f = (2,15 kcal + 2,35 kcal + 1,695 kcal)/(0,1075 kcal/°C + 0,1175 kcal/°C + 0,0226 kcal/°C)

t_f = 6,195 kcal/(0,2476 kcal/°C)

Resultado, la temperatura final del conjunto es:

t_f = 25 °C

Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

San Martín. Buenos Aires. Argentina.

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