Problema n° 5 de dinámica, fuerza de rozamiento, ángulo y tiempo en un plano inclinado - TP08

Enunciado del ejercicio n° 5

Un bloque descansa sobre un plano inclinado que forma un ángulo α con la horizontal. El coeficiente de rozamiento cinético es de 0,5 y el estático de 0,75. Calcular:

a) El valor de α para que el bloque comience a deslizarse.

b) La aceleración cuando el bloque comenzó a deslizarse.

c) El tiempo necesario para que el bloque se deslice 6,096 m por el plano inclinado.

Desarrollo

Datos:

μₑ = 0,75

μc = 0,5

Δx = 6,096 m

v₁ = 0

g = 9,80665 m/s²

Fórmulas:

Fᵣ = μ·N (1)

x₂ = x₁ + v₁·t + ½·a·t²

Condición de equilibrio (Primera ley de Newton):

∑Fₓ = 0

∑Fy = 0

∑MF = 0

Esquema:

Esquema del cuerpo y el plano inclinado

Solución

La fuerza de rozamiento siempre es contraria al movimiento y, por lo tanto, actúa como freno.

Diagrama de fuerzas
Diagrama de fuerzas

En el eje X:

Fᵣ - Pₓ = 0 (2)

En el eje Y:

N - Py = 0 (3)

Sabemos que:

sen α =Pₓ⇒ Pₓ = P·sen α
P
cos α =Py⇒ Py = P·cos α
P

En las ecuaciones (2) y (3) reemplazamos las componentes así como Fᵣ:

μ·N - P·sen α = 0 (4)

N - P·cos α = 0 (5)

De la ecuación (5) despejamos N:

N = P·cos α

Reemplazamos N en la (4):

μₑ·P·cos α - P·sen α = 0

Despejamos α:

μₑ·P·cos α = P·sen α

μₑ·cos α = sen α

μₑ =sen α
cos α

μₑ = tg α

α = arctg μₑ

Reemplazamos por los valores y calculamos:

α = arctg 0,75

α = 36,86989765°

Resultado a), el ángulo a partir del cual el bloque comienza a deslizarse es:

α = 36,9°

b)

El bloque comenzó a moverse, por lo tanto, le condición de equilibro es:

En el eje X:

Fᵣ - Pₓ = m·a (6)

En el eje Y:

N - Py = 0 (3)

Con el bloque en movimiento se emplea el coeficiente de rozamiento cinético.

En las ecuaciones (2) y (3) reemplazamos las componentes así como Fᵣ:

μc·N - P·sen α = m·a (7)

N - P·cos α = 0 (8)

De la ecuación (8) despejamos N:

N = P·cos α

Reemplazamos N en la (7):

μc·P·cos α - P·sen α = m·a

Despejamos P:

c·cos α - sen α)·P = m·a

c·cos α - sen α)·m·g = m·a

Cancelamos la masa:

c·cos α - sen α)·g = a

a = (μc·cos α - sen α)·g

Reemplazamos por los valores y calculamos:

a = (0,5·cos 36,86989765° - sen 36,86989765°)·9,80665 m/s²

a = (0,5·0,8 - 0,6)·9,80665 m/s²

a = (0,4 - 0,6)·9,80665 m/s²

a = -0,2·9,80665 m/s²

a = -1,96133 m/s²

Resultado b), la aceleración del bloque en movimiento es:

a = -1,96 m/s²

En sentido contrario de x > 0.

c)

Aplicamos la ecuación horaria de posición de cinemática:

x₂ = x₁ + v₁·t + ½·a·t²

La velocidad inicial es nula:

x₂ = x₁ + ½·a·t²

Tomamos x₁ = 0.

x₂ = ½·a·t²

x₂ < 0, el bloque retrocede con respecto al sentido del eje X.

Despejamos t:

t² =-x₂
½·a

Reemplazamos por los valores y calculamos:

t² =-6,096 m
½·(-1,96 m/s²)
t² =-6,096 m
-0,980665 m/s²
t² =6,096 s²
0,980665

t² = 6,216190034 s²

t = 6,216190034 s²

t = 2,493228837 s

Resultado c), el tiempo necesario para que el bloque se deslice 6,096 m es:

t = 2,5 s

Ejemplo, cómo calcular el tiempo y la distancia

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