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Métodos de resolución de circuitos de corriente

Sistema de nodos

Metodología para resolver circuitos de corriente eléctrica por el sistema de nodos.

a. Esquema de un circuito con fuente y resistencia:

Esquema de un circuito con fuente y resistencia

b. Esquema del circuito para resolver por el método de nodos

Esquema del circuito para resolver por el método de nodos

c. Transformar las fuentes de tensión en fuentes de corriente como:

Esquema de un circuito con fuentes de corriente
Esquema de un circuito con fuentes de corriente

I1 = V1/R1 e I1 = V1/R1

d. Plantear el número de ecuaciones igual al número de nodos menos uno, que se tendrá de referencia.

Hay 3 nodos → 2 ecuaciones.

Nodo C: tomado como referencia.

Nodo a: I1 - i1 - i3 = 0

Nodo b: i3 - i2 - I2 - i4 = 0

Luego:

Nodo a: I1 = i1 + i3

Nodo b: - I2 = i2 + i4 - i3

Pero G es la conductancia (inversa de la resistencia):

i1 = VA/R1 = VA·G1

i3 = (VA - VB)·G3

i2 = VB·G2

i4 = VB·G4

Reemplazando en a y b:

Nodo a: I1 = VA·G1 + (VA - VB)·G3
Nodo b: - I2 = VB·G2 + VB·G4 - (VA - VB)·G3
Nodo a: I1 = VA·(G1 + G3) - VB·G3
Nodo b: - I2 = - VA·G3 + VB·(G2 + G4 + G3)
⇒ I1 = VA·G1 + VA·G3 - VB·G3
⇒ - I2 = VB·G2 + VB·G4 - VA·G3 + VB·G3

Ejemplo n° 1

Nodo 2: referencia.

Incógnitas: V1, V3 y V4

Desarrollo

Datos:

(1) I1 + I2 = 9,33 A

(3) -I1 - I3 = - 11 A

(4) I3 = 5 A

Esquemas:

Esquema de un circuito con fuente y resistencia
Esquema de un circuito con fuente y resistencia

Esquema del circuito para resolver por el método de nodos
Esquema del circuito para resolver por el método de nodos

Solución

(1) 9,33 A = V1·(G1 + G2) - V3·G1 + V4·0
(3) -11 A = - V1·G1 + V3·(G1 + G5 + G3) - V4·(G5 + G3)
(4) 5 A = V1·0 - V3·(G5 + G3) + V4·(G4 + G5 + G3)
⇒ 9,33 A = V1·0,533 Ω - V3·0,2 Ω + V4·0
⇒ -11 A = - V1·0,2 Ω + V3·0,575 Ω - V4·0,375 Ω
⇒ 5 A = V1·0 - V3·0,375 Ω + V4·0,475 Ω
Δ =0,533 Ω
-0,2 Ω
0 Ω
-0,2 Ω
0,575 Ω
-0,375 Ω
0 Ω
-0,375 Ω
0,475 Ω
⇒ Δ = (0,146 - 0,075 -0,019) Ω³ ⇒ Δ = 0,052 Ω³
Δ1 =9,33 A
-11 A
5 A
-0,2 Ω
0,575 Ω
-0,375 Ω
0 Ω
-0,375 Ω
0,475 Ω
⇒ Δ1 = (2,55 + 0,375 - 1,31 - 1,045) A·Ω² ⇒ Δ1 = 0,57 A·Ω²
Δ3 =0,533 Ω
-0,2 Ω
0 Ω
9,33 A
-11 A
5 A
0 Ω
-0,375 Ω
0,475 Ω
⇒ Δ3 = (-2,78 + 0,99 + 0,87) A·Ω² ⇒ Δ3 = -0,92 A·Ω²
Δ4 =0,533 Ω
-0,2 Ω
0 Ω
-0,2 Ω
0,575 Ω
-0,375 Ω
9,33 A
-11 A
5 A
⇒ Δ4 = (1,53 + 0,7 - 2,19 - 0,2) A·Ω² ⇒ Δ4 = -0,16 A·Ω²

V1 = Δ1/Δ ⇒ V1 = 0,57 A·Ω²/0,052 Ω³ ⇒ V1 = 10,96 V

V3 = Δ3/Δ ⇒ V3 = -0,92 A·Ω²/0,052 Ω³ ⇒ V3 = -17,7 V

V4 = Δ4/Δ ⇒ V4 = -0,16 A·Ω²/0,052Ω³ ⇒ V4 = -3,08 V

En la figura:

I5 = (V3- V4)·G5 ⇒ I5 = (17,7 V - 3,08 V)·0,125 Ω ⇒ I5 = 1,83 A

I4 = V4·G4 ⇒ I4 = 3,08 V·0,1 Ω ⇒ I4 = 0,308 A

No pueden ni deben hallarse I1, I2 e I3 ya que son las resistencias internas de las fuentes reales.

Ejemplo n°2

Nodo 2: referencia.

Desarrollo

Datos:

G1 = 0,25 Ω

G2 = 0,5 Ω

G3 = 0,1 Ω

G4 = 0,125 Ω

I1 = V1/R1 ⇒ I1 = 7,5 A

I2 = V2/R2 ⇒ I2 = 10 A

Esquemas:

Esquema de un circuito con fuente y resistencia
Esquema de un circuito con fuente y resistencia

Esquema del circuito para resolver por el método de nodos
Esquema del circuito para resolver por el método de nodos

Solución

(2) -I1 - I2 = V2·(G1 + G2 + G4) - V3·(G1 + G4) ⇒ -17,5 A = V2·0,875 Ω - V3·0,375 Ω

(3) I1 = - V2·(G4 + G1) + V3·(G1 + G4 + G3) ⇒ 7,5 A = - V2·0,375 Ω + V3·0,475 Ω

Δ =0,875 Ω
-0,375 Ω
-0,375 Ω
0,475 Ω
⇒ Δ = (0,415 - 0,14) Ω² ⇒ Δ = 0,274 Ω²
Δ2 =-17,5 A
7,5 A
-0,375 Ω
0,475 Ω
⇒ Δ2 = (-8,31 + 2,81) A·Ω ⇒ Δ2 = -5,5 A·Ω
Δ3 =0,875 Ω
-0,375 Ω
-17,5 A
7,5 A
⇒ Δ3 = (6,56 - 6,56) A·Ω ⇒ Δ3 = 0 A·Ω

V2 = Δ2

V2 = -5,5 A·Ω/0,274 Ω²

V2 = -20 V

V3 = Δ3

V3 = 0 A·Ω/0,274 Ω²

V3 = 0 V

I4 = V2·G4

I4 = -20 V·0,125 Ω

I4 = 2,5 A

I3 = V3·G3

I3 = 0 A

Resolviendo por el método de las mallas:

  1. -V2 = i1·(R2 + R3 + R4) - i2·R4 ⇒ -20 V = i1·20 Ω - i2·8 Ω
  2. V1 = -i1·R4 + i2·(R1 + R4) ⇒ 30 V = -i1·8 Ω + i2·12 Ω
Δ =20 Ω
-8 Ω
-8 Ω
12 Ω
⇒ Δ = 176 Ω²
Δ1 =-20 V
30 V
-8 Ω
12 Ω
⇒ Δ1 = 0 V·Ω
Δ2 =20 Ω
-8 Ω
-20 V A
30 V
⇒ Δ2 = 440 V·Ω

i1 = Δ1

i1 = 0 V·Ω/176 Ω²

i1 = 0 A

i2 = Δ2

i2 = 440 V·Ω/176 Ω²

i2 = 2,50 A

Ejemplo n°3

Esquema de un circuito con fuente y resistencia
Esquema de un circuito con fuente y resistencia

Esquema del circuito para resolver por el método de nodos
Esquema del circuito para resolver por el método de nodos

Determinar la corriente que circula por R4, R5, y R6 aplicando el método de los nodos.

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