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Sistema de nodos. AP03

Contenido: Métodos de resolución de circuitos. Sistema de nodos. Ejercicios resueltos. ¿Qué es un nodo y una malla?

Métodos de resolución de circuitos de corriente

Sistema de nodos


Esquema de un circuito con fuente y resistencia


Esquema del circuito para resolver por el método de nodos

(1) Transformar las fuentes de tensión en fuentes de corriente como:


Esquema de un circuito con fuentes de corriente

I1 = V1/R1 e I1 = V1/R1

(2) Plantear el número de ecuaciones igual al número de nodos menos uno, que se tendrá de referencia.

Hay 3 nodos → 2 ecuaciones.

Nodo C: tomado como referencia.

Nodo a: I1 - i1 - i3 = 0

Nodo b: i3 - i2 - I2 - i4 = 0

Luego:

Nodo a: I1 = i1 + i3

Nodo b: - I2 = i2 + i4 - i3

Pero G es la conductancia (inversa de la resistencia):

i1 = VA/R1 = VA.G1

i3 = (VA - VB).G3

i2 = VB.G2

i4 = VB.G4

Reemplazando en a y b:

Nodo a: I1 = VA.G1 + (VA - VB).G3
Nodo b: - I2 = VB.G2 + VB.G4 - (VA - VB).G3
Nodo a: I1 = VA.(G1 + G3) - VB.G3
Nodo b: - I2 = - VA.G3 + VB.(G2 + G4 + G3)

⇒ I1 = VA.G1 + VA.G3 - VB.G3
⇒ - I2 = VB.G2 + VB.G4 - VA.G3 + VB.G3

Ejemplo 11:

Nodo 2: referencia.

Incógnitas: V1, V3 y V4

(1) I1 + I2 = 9,33 A

(3) - I1 - I3 = - 11 A

(4) I3 = 5 A


Esquema de un circuito con fuente y resistencia


Esquema del circuito para resolver por el método de nodos

(1) 9,33 A = V1.(G1 + G2) - V3.G1 + V4.0
(3) -11 A = - V1.G1 + V3.(G1 + G5 + G3) - V4.(G5 + G3)
(4) 5 A = V1.0 - V3.(G5 + G3) + V4.(G4 + G5 + G3)

⇒ 9,33 A = V1.0,533 Ω - V3.0,2 Ω + V4.0

⇒ -11 A = - V1.0,2 Ω + V3.0,575 Ω - V4.0,375 Ω
⇒ 5 A = V1.0 - V3.0,375 Ω + V4.0,475 Ω

Δ=

0,533 Ω
-0,2 Ω
0 Ω

-0,2 Ω
0,575 Ω
-0,375 Ω

0 Ω
-0,375 Ω
0,475 Ω

⇒ Δ = (0,146 - 0,075 -0,019) Ω³ ⇒ Δ = 0,052 Ω³

Δ1 =

9,33 A
-11 A
5 A

-0,2 Ω
0,575 Ω
-0,375 Ω

0 Ω
-0,375 Ω
0,475 Ω

⇒ Δ1 = (2,55 + 0,375 - 1,31 - 1,045) AΩ² ⇒ Δ1 = 0,57 AΩ²

Δ3 =

0,533 Ω
-0,2 Ω
0 Ω

9,33 A
-11 A
5 A

0 Ω
-0,375 Ω
0,475 Ω

⇒ Δ3 = (-2.78 + 0,99 + 0,87) AΩ² ⇒ Δ3 = -0,92 AΩ²

Δ4 =

0,533 Ω
-0,2 Ω
0 Ω

-0,2 Ω
0,575 Ω
-0,375 Ω

9,33 A
-11 A
5 A

⇒ Δ4 = (1,53 + 0,7 - 2,19 - 0,2) AΩ² ⇒ Δ4 = -0,16 AΩ²

V1 = Δ1/Δ ⇒ V1 = 0,57 AΩ²/0,052 Ω³ ⇒ V1 = 10,96 V

V3 = Δ3/Δ ⇒ V3 = -0,92 AΩ²/0,052 Ω³ ⇒ V3 = -17,7 V

V4 = Δ4/Δ ⇒ V4 = -0,16 AΩ²/0,052Ω³ ⇒ V4 = -3,08 V

En la figura:

I5 = (V3- V4).G5 ⇒ I5 = (17,7 V - 3,08 V).0,125 Ω ⇒ I5 = 1,83 A

I4 = V4.G4 ⇒ I4 = 3,08 V.0,1 Ω ⇒ I4 = 0,308 A

No pueden ni deben hallarse I1, I2e I3 ya que son las resistencias internas de las fuentes reales.

Ejemplo 12:

Nodo 2: referencia.

G1 = 0,25 Ω

G2 = 0,5 Ω

G3 = 0,1 Ω

G4 = 0,125 Ω

I1 = V1/R1 ⇒ I1 = 7,5 A

I2 = V2/R2 ⇒ I2 = 10 A


Esquema de un circuito con fuente y resistencia


Esquema del circuito para resolver por el método de nodos

(2) -I1 - I2 = V2.(G1 + G2 + G4) - V3.(G1 + G4) ⇒ -17,5 A = V2.0,875 Ω - V3.0,375 Ω

(3) I1 = - V2.(G4 + G1) + V3.(G1 + G4 + G3) ⇒ 7,5 A = - V2.0,375 Ω + V3.0,475 Ω

Δ=

0,875 Ω
-0,375 Ω

-0,375 Ω
0,475 Ω

⇒ Δ= (0,415 - 0,14) Ω² ⇒ Δ= 0,274 Ω²

Δ2 =

-17,5 A
7,5 A

-0,375 Ω
0,475 Ω

⇒ Δ2 = (-8,31 + 2,81) AΩ ⇒ Δ2 = -5,5 AΩ

Δ3 =

0,875 Ω
-0,375 Ω

-17,5 A
7,5 A

⇒ Δ3 = (6,56 - 6,56) AΩ ⇒ Δ3 = 0 AΩ

V2 = Δ2/Δ ⇒ V2 = -5,5 AΩ/0,274 Ω² ⇒ V2 = -20 V

V3 = Δ3/Δ ⇒ V3 = 0 AΩ/0,274 Ω² ⇒ V3 = 0 V

I4 = V2.G4 ⇒ I4 = -20 V.0,125 Ω ⇒ I4 = 2,5 A

I3 = V3.G30 A

Resolviendo por el método de las mallas:

1) -V2 = i1.(R2 + R3 + R4) - i2.R4 ⇒ -20 V = i1.20 Ω- i2.8 Ω

2) V1 = -i1.R4 + i2.(R1 + R4) ⇒ 30 V = -i1.8 Ω + i2.12 Ω

Δ =

20 Ω
-8 Ω

-8 Ω
12 Ω

⇒ Δ=176 Ω²

Δ1 =

-20 V
30 V

-8 Ω
12 Ω

⇒ Δ1 = 0 V Ω

Δ2 =

20 Ω
-8 Ω

-20 V A
30 V

⇒ Δ2 = 440 V Ω

i1 = Δ1/Δ ⇒ i1 = 0 V Ω/176 Ω² ⇒ i1 = 0 A

i2 = Δ2/Δ ⇒ i2 = 440 V Ω/176 Ω² ⇒ i2 = 2,50 A

Ejemplo 13:


Esquema de un circuito con fuente y resistencia


Esquema del circuito para resolver por el método de nodos

Determinar la corriente que circula por R4, R5,y R6 aplicando el método de los nodos.

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