Teorema de Norton

Es el recíproco del Teorema de Thevenin y dice:
"Todo circuito compuesto de generadores y resistencias se puede reemplazar por un generador de corriente I_N en paralelo con una resistencia R_N ".

Dónde I_N es igual a la corriente que circula por los terminales de salida cuando estas se ponen en cortocircuito. R_N es la misma que la de Thevenin.

Para determinar el equivalente de Norton del circuito, se procede de la siguiente forma:

1) Cortocircuitamos C y D y calculamos la corriente que circula:

//: significa que están en paralelo

I_N = V·(R₂ // R₃)/(R₁ + R₂ // R₃)·R₃

I_N = V·{[R₂·R₃/(R₂ + R₃)]/{R₁ + [R₂·R₃/(R₂ + R₃)]}·R₃

I_N = V·R₂·R₃/R₃·(R₂ + R₃)·[R₁ + R₂·R₃/(R₂ + R₃)]

I_N = V·R₂/{(R₂ + R₃)·[(R₂ + R₃)·R₁ + R₂·R₃]/(R₂ + R₃)}

I_N = V·R₂/[(R₂ + R₃)·R₁ + R₂·R₃]

I_N = V·R₂/(R₂·R₁ + R₃·R₁ + R₂·R₃)

2) La R_N se calcula como en Thevenin:

R_N = R_TH

R_N = (R₁ // R₃) + R₂

3) Luego reemplazamos por el circuito equivalente:

R_N = (R₁ + R₄ + R₇) // R₆ + R₃ ⇒ R_N = [(R₁ + R₄ + R₇)·R₆/(R₁ + R₄ + R₇ + R₆)] + R₃

R_N =[(5 Ω + 5 Ω + 2 Ω)·8 Ω/(5 Ω + 5 Ω + 2 Ω + 8 Ω)] + 10 Ω ⇒ R_N = (12 Ω·8 Ω/20 Ω) + 10 Ω ⇒ R_N = 14,8 Ω

(1) V₁ = I₁·(R₁ + R₄ + R₇ + R₆) - I_N·R₆

(2) V₂ = - I₁·R₆ + I_N·(R₃ + R₆)

(1) 20 V = I₁·(5 Ω + 5 Ω + 2 Ω + 8 Ω) - I_N·8 Ω ⇒ 20 V = I₁·20 Ω - I_N·8 Ω

(2) 10 V = - I₁·8 Ω + I_N·(10 Ω + 8 Ω) ⇒ 10 V = - I₁·8 Ω + I_N·18 Ω

Δ= 296 Ω²

Δ₁ = 440 Ω·V

Δ_N = 360 Ω·V

I₁ = 440 Ω·V/296 Ω² ⇒ I₁ = 1,4865 A

I_N = 360 Ω·V/296 Ω² ⇒ I_N = 1,2162 A

Esquema del reemplazo por el circuito equivalente

Se reemplaza el circuito por el de Norton:

(1) I_N = i₁ + i₂

(2) i₁·R_N = i₂·R₂ ⇒ i₁ = i₂·R₂/R_N

(2) en (1)

I_N = i₂·R₂/R_N + i₂ ⇒ I_N = i₂·(R₂/R_N + 1) ⇒ i₂ = i_N/(R₂/R_N + 1)

i₂ = i_N/[(R₂ + R_N)/R_N] ⇒ i₂ = R_N·i_N/(R₂ + R_N)

i₂ = 14,8 Ω·1,22 A/(3 Ω + 14,8 Ω) ⇒ i₂ = 1,014 A

Otra forma:

R_eq = R_N // R₂ ⇒ R_eq = R_N·R₂/(R_N + R₂) ⇒ R_eq = 14,8 Ω·3 Ω/(14,8 Ω + 3 Ω) ⇒ R_eq = 2,49 Ω

V_AB = R_eq·I_N ⇒ V_AB = 2,49 Ω·1,22 A ⇒ V_AB = 3,04 V

i₂ = V_AB/R₂ ⇒ i₂ = 3,04 V/3 Ω ⇒ i₂ = 1,01 A

Ejemplo n° 2) Aplicando Norton, calcular R₆

R_eq = (R₁ + R₂ + R₃) // (R₄ + R₅) ⇒ R_eq = (5 Ω + 10 Ω + 3 Ω) // (5 Ω + 10 Ω) ⇒ R_eq = 18 Ω// 15 Ω

R_eq = 18 Ω·15 Ω/(18 Ω + 15 Ω) ⇒ R_eq = 270 Ω²/33 Ω ⇒ R_eq = 8,18 Ω ⇒ R_N = 8,18 Ω

V₁ = i₁·(R₁ + R₂ + R₃) - i₂·0 ⇒ 50 V = i₁·(5 Ω + 10 Ω + 3 Ω) ⇒ 50 V = i₁·18 Ω ⇒ i₁ = 50 V/18 Ω

- V₂ = - i₁·0 + i₂·(R₄ + R₅) ⇒ - 30 V = i₂·(5 Ω + 10 Ω) ⇒ - 30 V = i₂·15 Ω ⇒ i₂ = - 30 V/15 Ω

i₁ = 2,78 A

i₂ = - 2 A

Esquema del reemplazo por el circuito equivalente

I_N = i₁ + i₂ ⇒ I_N = 2,78 A + 2 A ⇒ I_N = 4,78 A

i₆ = I_N·R_N/(R₆ + R_N) ⇒ i₆ = 4,78 A·8,18 Ω/(5 Ω + 8,18 Ω)

i₆ = 39,1004 V/13,18 Ω ⇒ i₆ = 2,97 A