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Contenido: Características de un movimiento armónico simple. Ecuación fundamental del movimiento armónico simple. Ecuación de la velocidad y ecuación de la aceleración en el movimiento armónico simple.

Ecuaciones del movimiento armónico simple

Características de un movimiento armónico simple

Ecuación fundamental del movimiento armónico simple

En la figura se ha representado la posición x de un péndulo que oscila después de haber sido desplazado un pequeño ángulo en función del tiempo. Se han representado dos oscilaciones completas.

Representación de un péndulo que oscila
Representación de un péndulo que oscila

Gráfica de la posición en función del tiempo del péndulo

Gráfica de la posición en función del tiempo del péndulo

Si lo hacemos oscilar desde su posición vertical con un pequeño impulso obtendremos una gráfica similar solo que para t = 0, x = 0. La primera gráfica corresponde a un coseno y la segunda a un seno. Ambas gráficas representan el mismo movimiento con la única diferencia de la posición inicial de oscilación.

Si comparamos el movimiento del péndulo con el de una partícula que describe un movimiento circular, con radio igual a la de la amplitud de la oscilación y el mismo período (es decir, ajustamos la ω de la partícula para que coincida el T).

Representación de un péndulo que oscilaPara un punto cualquiera de la trayectoria tenemos que su posición es:
x = A·cos (ω·t).
Puesto que A y ω son iguales para los dos movimientos y las posiciones respecto del origen van coincidiendo. La ecuación describe los dos movimientos.
En general, si la elongación no es A, basta con introducir una fase que ajuste la posición inicial x = A·cos (ω·t + d).
Para t = 0 ⇒ x = A·cos d
Gráfica de la amplitud en función de la posición del péndulo

Representación de un resorte que elonga

Si hablamos de un muelle ocurre exactamente lo mismo.

En general, la ecuación del movimiento armónico simple la escribiremos

x = A·cos (ω·t + d)ω·t + d: fase del movimiento.
Al cabo de una oscilación completa la fase aumenta en 2·π rad y vuelve a la misma posición cos (ω·y + d) = cos (ω·t + d + 2·π)
d: constante de fase o fase inicial.
Si t = 0 se obtiene la posición inicial x0 = A·cos d

La ecuación puede escribirse indistintamente en función del seno o del coseno x = A·sen (ω·t + d)

A veces conviene usar una u otra:

1- Si hacemos oscilar un muelle o péndulo desde su máxima elongación, debe cumplirse que:

x0 = A en t = 0 → Ecuación más sencilla es x = A·cos (ω·t) ya que cos 0 = 1. También se podría escribir:

x = A·sen (ω·t + π/2) ya que en t = 0 ⇒ x = A·sen π/2 = A.

Si la oscilación comienza en la posición de equilibrio se debe cumplir que:

x0 = 0 en t = 0.

Lo más sencillo es x = A·sen (ω·t) pero también x = A·cos (ω·t ± π/2)

Si el movimiento se inicia en una posición intermedia, se puede elegir seno o coseno y calcular d a partir de x0, A y ω.

Ver ejemplo n° 1

Ecuación de la velocidad en el movimiento armónico simple

x = A·cos (ω·t + d)

v = dx/dt = -ω·a·sen (ω·t + δ)

La velocidad en un movimiento armónico simple varía de forma armónica (sinusoidal).

Sabemos que sen² (ω·t + δ) + cos² (ω·t + δ) = 1

sen (ω·t + d) = Ecuación de la velocidad en el movimiento armónico simple

v = -ω·A·sen (ω·t + d) = -ω·A Ecuación de la velocidad en el movimiento armónico simple

Como la raíz lleva doble signo para cada valor de x hay dos de v (ida y vuelta) v = Ecuación de la velocidad en el movimiento armónico simple

Si representamos la posición y la velocidad frente al tiempo

Gráficas de la posición y velocidad en función del tiempo

x = A·cos ω·t = A·cos (2·π/T)·t
v = -A·ω·sen ω·t = -ω·A·sen (2·π/T)·t

Ver ejemplo n° 2

Ecuación de la aceleración en el movimiento armónico simple

v = -ω·A·sen (ω·t + d)

a = dv/dt = -ω²·A·cos (ω·t + δ)

Sabemos que v = a·cos (ω·t + δ)

a = -ω²·x la aceleración en un movimiento oscilatorio armónico simple es una función armónica que depende sinusoidalmente de tiempo.

La gráfica está desfasada π respecto de la posición x → cos (ω·t + d) = - cos (ω·t)

Gráficas de la aceleración, posición y velocidad en función del tiempo

x = a·cos (2·π/T)·t

v = -ω·A·sen (2·π/T)·t

a = -ω²·A·cos (2·π/T)·t

Representación del comportamiento de la velocidad, la posición y la aceleración

Ver ejemplo n° 3

• Fuente:

http://www.freewebs.com/fisicamontpe/

Física de 2° de Bachillerato - Colegio Montpellier

Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

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