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Solución del ejercicio n° 4 de dilatación de sólidos y líquidos. Termostática. Problema resuelto. Ejemplo, cómo calcular la variación de volumen ocasionada por la dilatación

Problema n° 4 de termostática

Problema n° 4

Un cubo de hierro se llena con mercurio y se lo calienta desde 25 °C hasta 82 °C. Si se derraman 2,8 cm³ de Hg, ¿cuál es el volumen del cubo? (βHg = 0,000182/°C, αFe = 0,0000118/°C)

Desarrollo

Datos:

t1 = 25 °C

t2 = 82 °C

V = 2,8 cm³ (volumen excedente de mercurio)

α = 0,0000118/°C

β = 0,000182/°C

Fórmulas:

ΔVc = 3·α·V1c·Δt (dilatación volumétrica del cubo de hierro)

ΔVm = β·V1m·Δt (dilatación volumétrica del mercurio)

Solución

Se asume que con 25 °C el volumen de mercurio se encuentra enrasado con el borde del recipiente de hierro, es decir el mismo volumen inicial para ambos:

V1m = V1c = V1

Y:

V2m - V2c = 2,7 cm³ (1)

Entonces:

ΔVm = β·V1m·Δt
V2m - V1m = β·V1m·Δt
V2m - V1 = β·V1·Δt
ΔVc = 3·α·V1c·Δt
V2c - V1c = 3·α·V1c·Δt
V2c - V1 = 3·α·V1·Δt

Despejamos V1 en ambas ecuaciones:

V2m - V1 = β·V1·Δt
V2m = β·V1·Δt + V1
V2m = (β·Δt + 1)·V1
V2m/(β·Δt + 1) = V1
V2c - V1 = 3·α·V1·Δt
V2c = 3·α·V1·Δt + V1
V2c = (3·α·Δt + 1)·V1
V2c/(3·α·Δt + 1) = V1 (3)

Igualamos las ecuaciones:

V2m/(β·Δt + 1) = V2c/(3·α·Δt + 1)

V2m·(3·α·Δt + 1) = V2c·(β·Δt + 1) (2)

De la ecuación (1) despejamos V2m:

V2m = V2c + 2,8 cm³

Reemplazamos V2m en la ecuación (2):

(V2c + 2,8 cm³)·(3·α·Δt + 1) = V2c·(β·Δt + 1) (2)

A continuación despejamos V2c:

V2c·(3·α·Δt + 1) + 2,8 cm³·(3·α·Δt + 1) = V2c·(β·Δt + 1)

V2c·(3·α·Δt + 1) - V2c·(β·Δt + 1) = -2,8 cm³·(3·α·Δt + 1)

V2c·[(3·α·Δt + 1) - (β·Δt + 1)] = -2,8 cm³·(3·α·Δt + 1)

V2c = -2,8 cm³·(3·α·Δt + 1)/[(3·α·Δt + 1) - (β·Δt + 1)]

Reemplazamos por los valores y calculamos:

V2c = -2,8 cm³·[3·(0,0000118/°C)·(82 °C - 25 °C) + 1]/{[3·(0,0000118/°C)·(82 °C - 25 °C) + 1] - [(0,000182/°C)·(82 °C - 25 °C) + 1]}

V2c = -2,8 cm³·[(0,0000354/°C)·57 °C + 1]/{[(0,0000354/°C)·57 °C + 1] - [(0,000182/°C)·57 °C + 1]}

V2c = -2,8 cm³·[(0,0000354/°C)·57 °C + 1]/[(0,0000354/°C)·57 °C + 1 - (0,000182/°C)·57 °C - 1]

V2c = -2,8 cm³·(0,0020178 + 1)/(0,0020178 - 0,010374)

V2c = -2,8 cm³·1,0020178/(-0,0083562)

V2c = 2,80564984 cm³/0,0083562

V2c = 335,757 cm³

Hallamos el volumen final del cubo de hierro. Ahora calcularemos el volumen inicial del cubo de hierro con la ecuación (3):

V1 = V2c/(3·α·Δt + 1)

V1 = 335,757 cm³/[3·(0,0000118/°C)·(82 °C - 25 °C) + 1]

V1 = 335,757 cm³/(0,0020178 + 1)

V1 = 335,757 cm³/1,0020178

Resultado, el volumen del cubo de hierro es:

V1 = 335,081 cm³

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