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Ejemplo, cómo calcular la fuerza resultante de un sistema en un plano inclinado

Problema n° 2 de fuerza, peso y aceleración con rozamiento

Enunciado del ejercicio n° 2

Calcular la fuerza máxima en la dirección de la base del plano que hay que ejercer, para que el cuerpo no se mueva, así como la fuerza mínima.

Desarrollo

Datos:

μ = 0,3

m = 5 kg

α = 30°

Se adopta g = 10 m/s²

Fórmulas:

P = m·g (1)

F = m·a (2)

Fr = μ·N (3)

Condición de equilibrio (Primera ley de Newton):

∑Fx = 0

∑Fy = 0

∑MF = 0

Esquema:

Esquema del cuerpo y la fuerza en un plano inclinado

Solución

La fuerza de rozamiento siempre es contraria al movimiento y, por lo tanto, actúa como freno.

En el primer caso (a) consideraremos a la fuerza de rozamiento con sentido al eje de las "X", lo que nos dará el valor mínimo de la fuerza F necesario para subir el bloque. En el segundo caso (b) orientaremos a la fuerza de rozamiento en el sentido de las "x > 0", lo que nos dará el valor mínimo de la fuerza "F" para evitar que el bloque se deslice hacia abajo.

a)

Diagrama de fuerzas
Diagrama de fuerzas

En el eje X:

Fx - Px - Fr = 0 (4)

En el eje Y:

N - Fy - Py = 0 (5)

También sabemos que:

sen α =Fy⇒ Fy = F·sen α
F
cos α =Fx⇒ Fx = F·cos α
F

Y que:

sen α =Px⇒ Px = P·sen α
P
cos α =Py⇒ Py = P·cos α
P

En las ecuaciones (4) y (5) reemplazamos las componentes:

F·cos α - P·sen α - Fr = 0

N - F·sen α - P·cos α = 0

Luego reemplazamos "P" y "Fr" por las fórmulas (2) y (3):

F·cos α - m·g·sen α - μ·N = 0 (6)

N - F·sen α - m·g·cos α = 0 (7)

De la ecuación (7) despejamos "N":

N = F·sen α + m·g·cos α

Y reemplazamos "N" en la (6):

F·cos α - m·g·sen α - μ·(F·sen α + m·g·cos α) = 0

Realizamos las operaciones algebraicas necesarias para despejar "F":

F·cos α - m·g·sen α - μ·F·sen α - μ·m·g·cos α = 0

F·cos α - μ·F·sen α = m·g·sen α + μ·m·g·cos α

F·(cos α - μ·sen α) = m·g·(sen α + μ·cos α)

F =m·g·(sen α + μ·cos α)
cos α - μ·sen α

Reemplazamos por los datos y calculamos:

F =5 kg·10 m/s²·(sen 30° + 0,3·cos 30°)
cos 30° - 0,3·sen 30°
F =50 N·(0,5 + 0,3·0,87)
0,87 - 0,3·0,5
F =50 N·(0,5 + 0,26)
0,87 - 0,15
F =50 N·0,76
0,72
F =38 N
0,72

Resultado, la fuerza mínima para poner al bloque en movimiento es:

F = 53,1 N

b)

Diagrama de fuerzas
Diagrama de fuerzas

En el eje X:

Fx - Px + Fr = 0 (4)

En el eje Y:

N - Fy - Py = 0 (5)

También sabemos que:

sen α =Fy⇒ Fy = F·sen α
F
cos α =Fx⇒ Fx = F·cos α
F

Y que:

sen α =Px⇒ Px = P·sen α
P
cos α =Py⇒ Py = P·cos α
P

En las ecuaciones (4) y (5) reemplazamos las componentes:

F·cos α - P·sen α + Fr = 0

N - F·sen α - P·cos α = 0

Luego reemplazamos "P" y "Fr" por las fórmulas (2) y (3):

F·cos α - m·g·sen α + μ·N = 0 (6)

N - F·sen α - m·g·cos α = 0 (7)

De la ecuación (7) despejamos "N":

N = F·sen α + m·g·cos α

Y reemplazamos "N" en la (6):

F·cos α - m·g·sen α + μ·(F·sen α + m·g·cos α) = 0

Realizamos las operaciones algebraicas necesarias para despejar "F":

F·cos α - m·g·sen α + μ·F·sen α + μ·m·g·cos α = 0

F·cos α + μ·F·sen α = m·g·sen α - μ·m·g·cos α

F·(cos α + μ·sen α) = m·g·(sen α - μ·cos α)

F =m·g·(sen α - μ·cos α)
cos α + μ·sen α

Reemplazamos por los datos y calculamos:

F =5 kg·10 m/s²·(sen 30° - 0,3·cos 30°)
cos 30° + 0,3·sen 30°
F =50 N·(0,5 - 0,3·0,87)
0,87 + 0,3·0,5
F =50 N·(0,5 - 0,26)
0,87 + 0,15
F =50 N·0,24
1,02
F =12 N
1,02

Resultado, la fuerza mínima para evitar que el bloque se deslice es:

F = 11,8 N

Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

San Martín. Buenos Aires. Argentina.

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