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Ejemplo, cómo calcular el coeficiente de dilatación volumétrico. ¿Cuánto aumenta el volumen del mercurio al calentarlo?

Problema n° 4 de termostática

Enunciado del ejercicio n° 4

Un cubo de hierro (α = 0,000012/°C) lleno de mercurio (γ = 0,000182/°C) es calentado de 20 °C a 70 °C. Si se derraman 2,7 cm³ de mercurio, ¿cuál es el volumen del cubo?

Desarrollo

Datos:

t1 = 20 °C

t2 = 70 °C

V = 2,7 cm³ (volumen excedente de mercurio)

α = 0,000012/°C

γ = 0,000182/°C

Fórmulas:

ΔVc = 3·α·V1c·Δt (dilatación volumétrica del cubo de hierro)

ΔVm = γ·V1m·Δt (dilatación volumétrica del mercurio)

Solución

Se asume que con 20 °C el volumen de mercurio se encuentra enrasado con el borde del recipiente de hierro, es decir el mismo volumen inicial para ambos:

V1m = V1c = V1

Y:

V2m - V2c = 2,7 cm³ (1)

Entonces:

ΔVm = γ·V1m·Δt
V2m - V1m = γ·V1m·Δt
V2m - V1 = γ·V1·Δt
ΔVc = 3·α·V1c·Δt
V2c - V1c = 3·α·V1c·Δt
V2c - V1 = 3·α·V1·Δt

Despejamos V1 en ambas ecuaciones:

V2m - V1 = γ·V1·Δt
V2m = γ·V1·Δt + V1
V2m = (γ·Δt + 1)·V1
V2m/(γ·Δt + 1) = V1
V2c - V1 = 3·α·V1·Δt
V2c = 3·α·V1·Δt + V1
V2c = (3·α·Δt + 1)·V1
V2c/(3·α·Δt + 1) = V1 (3)

Igualamos las ecuaciones:

V2m/(γ·Δt + 1) = V2c/(3·α·Δt + 1)

V2m·(3·α·Δt + 1) = V2c·(γ·Δt + 1) (2)

De la ecuación (1) despejamos V2m:

V2m = V2c + 2,7 cm³

Reemplazamos V2m en la ecuación (2):

(V2c + 2,7 cm³)·(3·α·Δt + 1) = V2c·(γ·Δt + 1) (2)

A continuación despejamos V2c:

V2c·(3·α·Δt + 1) + 2,7 cm³·(3·α·Δt + 1) = V2c·(γ·Δt + 1)

V2c·(3·α·Δt + 1) - V2c·(γ·Δt + 1) = -2,7 cm³·(3·α·Δt + 1)

V2c·[(3·α·Δt + 1) - (γ·Δt + 1)] = -2,7 cm³·(3·α·Δt + 1)

V2c = -2,7 cm³·(3·α·Δt + 1)/[(3·α·Δt + 1) - (γ·Δt + 1)]

Reemplazamos por los valores y calculamos:

V2c = -2,7 cm³·[3·(0,000012/°C)·(70 °C - 20 °C) + 1]/{[3·(0,000012/°C)·(70 °C - 20 °C) + 1] - [(0,000182/°C)·(70 °C - 20 °C) + 1]}

V2c = -2,7 cm³·[(0,000036/°C)·50 °C + 1]/{[(0,000036/°C)·50 °C + 1] - [(0,000182/°C)·50 °C + 1]}

V2c = -2,7 cm³·[(0,000036/°C)·50 °C + 1]/[(0,000036/°C)·50 °C + 1 - (0,000182/°C)·50 °C - 1]

V2c = -2,7 cm³·(0,0018 + 1)/(0,0018 - 0,0091)

V2c = -2,70486 cm³/(-0,0073)

V2c = 2,70486 cm³/0,0073

V2c = 370,529 cm³

Hallamos el volumen final del cubo de hierro. Ahora calcularemos el volumen inicial del cubo de hierro con la ecuación (3):

V1 = V2c/(3·α·Δt + 1)

V1 = 370,529 cm³/[3·(0,000012/°C)·(70 °C - 20 °C) + 1]

V1 = 370,529 cm³/(0,0018 + 1)

V1 = 370,529 cm³/1,0018

Resultado, el volumen del cubo de hierro es:

V1 = 369,863 cm³

Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

San Martín. Buenos Aires. Argentina.

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