Problema n° 4 de dilatación - TP02

Enunciado del ejercicio n° 4

Un cubo de hierro (α = 0,000012/°C) lleno de mercurio (γ = 0,000182/°C) es calentado de 20 °C a 70 °C. Si se derraman 2,7 cm³ de mercurio, ¿cuál es el volumen del cubo?

Desarrollo

Datos:

t1 = 20 °C

t2 = 70 °C

V = 2,7 cm³ (volumen excedente de mercurio)

α = 0,000012/°C

γ = 0,000182/°C

Fórmulas:

ΔVc = 3·α·V1c·Δt° (dilatación volumétrica del cubo de hierro)

ΔVm = γ·V1m·Δt° (dilatación volumétrica del mercurio)

Solución

Se asume que con 20 °C el volumen de mercurio se encuentra enrasado con el borde del recipiente de hierro, es decir el mismo volumen inicial para ambos:

V1m = V1c = V1

Y:

V2m - V2c = 2,7 cm³ (1)

Entonces:

ΔVm = γ·V1m·Δt°
V2m - V1m = γ·V1m·Δt°
V2m - V1 = γ·V1·Δt°

ΔVc = 3·α·V1c·Δt°
V2c - V1c = 3·α·V1c·Δt°
V2c - V1 = 3·α·V1·Δt°

Despejamos V1 en ambas ecuaciones:

V2m - V1 = γ·V1·Δt°
V2m = γ·V1·Δt° + V1
V2m = (γ·Δt° + 1)·V1
V2m/(γ·Δt° + 1) = V1 (3)

V2c - V1 = 3·α·V1·Δt°
V2c = 3·α·V1·Δt° + V1
V2c = (3·α·Δt° + 1)·V1
V2c/(3·α·Δt° + 1) = V1 (4)

Igualamos las ecuaciones (3) y (4):

V2m=V2c
γ·Δt° + 13·α·Δt° + 1

V2m·(3·α·Δt° + 1) = V2c·(γ·Δt° + 1) (2)

De la ecuación (1) despejamos V2m:

V2m = V2c + 2,7 cm³

Reemplazamos V2m en la ecuación (2):

(V2c + 2,7 cm³)·(3·α·Δt° + 1) = V2c·(γ·Δt° + 1) (2)

A continuación despejamos V2c:

V2c·(3·α·Δt° + 1) + 2,7 cm³·(3·α·Δt° + 1) = V2c·(γ·Δt° + 1)

V2c·(3·α·Δt° + 1) - V2c·(γ·Δt° + 1) = -2,7 cm³·(3·α·Δt° + 1)

V2c·[(3·α·Δt° + 1) - (γ·Δt° + 1)] = -2,7 cm³·(3·α·Δt° + 1)

V2c·(3·α·Δt° + 1 - γ·Δt° + 1) = -2,7 cm³·(3·α·Δt° + 1)

V2c·(3·α·Δt° - γ·Δt°) = -2,7 cm³·(3·α·Δt° + 1)

V2c·(3·α - γ)·Δt° = -2,7 cm³·(3·α·Δt° + 1)

V2c =-2,7 cm³·(3·α·Δt° + 1)
(3·α - γ)·Δt°

Reemplazamos por los valores y calculamos:

V2c =-2,7 cm³·[3·0,000012/°C·(70 °C - 20 °C) + 1]
(3·0,000012/°C - 0,000182/°C)·(70 °C - 20 °C)
V2c =-2,7 cm³·(0,000036/°C·50 °C + 1)
(0,000036/°C - 0,000182/°C)·50 °C
V2c =-2,7 cm³·(0,0018 + 1)
-0,000146/°C·50 °C
V2c =2,7 cm³·1,0018
0,0073
V2c =2,70486 cm³
0,0073

V2c = 370,529 cm³

Hallamos el volumen final del cubo de hierro. Ahora calcularemos el volumen inicial del cubo de hierro con la ecuación (3):

V1 =V2c
3·α·Δt° + 1
V1 =370,529 cm³
3·0,000012/°C·(70 °C - 20 °C) + 1
V1 =370,529 cm³
0,000036/°C·50 °C + 1
V1 =370,529 cm³
0,0018 + 1
V1 =370,529 cm³
1,0018

Resultado, el volumen del cubo de hierro es:

V1 = 369,863 cm³

Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina

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