Problema nº 4 de coeficiente de dilatación volumétrico

Enunciado del ejercicio nº 4

Un cubo de hierro (α = 0,000012/°C) lleno de mercurio (γ = 0,000182/°C) es calentado de 20 °C a 70 °C. Si se derraman 2,7 cm³ de mercurio, ¿cuál es el volumen del cubo?

Desarrollo

Datos:

t₁ = 20 °C

t₂ = 70 °C

V = 2,7 cm³ (volumen excedente de mercurio)

α = 0,000012/°C

γ = 0,000182/°C

Fórmulas:

ΔV_c = 3·α·V_1c·Δt° (dilatación volumétrica del cubo de hierro)

ΔVₘ = γ·V₁ₘ·Δt° (dilatación volumétrica del mercurio)

Solución

Se asume que con 20 °C el volumen de mercurio se encuentra enrasado con el borde del recipiente de hierro, es decir el mismo volumen inicial para ambos:

V₁ₘ = V_1c = V₁

Y:

V₂ₘ - V_2c = 2,7 cm³ (1)

Entonces:

Despejamos V₁ en ambas ecuaciones:

Igualamos las ecuaciones (3) y (4):

V₂ₘ·(3·α·Δt° + 1) = V_2c·(γ·Δt° + 1) (2)

De la ecuación (1) despejamos V₂ₘ:

V₂ₘ = V_2c + 2,7 cm³

Reemplazamos V₂ₘ en la ecuación (2):

(V_2c + 2,7 cm³)·(3·α·Δt° + 1) = V_2c·(γ·Δt° + 1) (2)

A continuación despejamos V_2c:

V_2c·(3·α·Δt° + 1) + 2,7 cm³·(3·α·Δt° + 1) = V_2c·(γ·Δt° + 1)

V_2c·(3·α·Δt° + 1) - V_2c·(γ·Δt° + 1) = -2,7 cm³·(3·α·Δt° + 1)

V_2c·[(3·α·Δt° + 1) - (γ·Δt° + 1)] = -2,7 cm³·(3·α·Δt° + 1)

V_2c·(3·α·Δt° + 1 - γ·Δt° + 1) = -2,7 cm³·(3·α·Δt° + 1)

V_2c·(3·α·Δt° - γ·Δt°) = -2,7 cm³·(3·α·Δt° + 1)

V_2c·(3·α - γ)·Δt° = -2,7 cm³·(3·α·Δt° + 1)

Reemplazamos por los valores y calculamos:

Se recomienda seguir atentamente la simplificación de las unidades y los signos.

V_2c = 370,529 cm³

Hallamos el volumen final del cubo de hierro. Ahora calcularemos el volumen inicial del cubo de hierro con la ecuación (3):

Reemplazamos por los valores y calculamos:

Resultado, el volumen del cubo de hierro es:

V₁ = 369,863 cm³

Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina

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Ejemplo, cómo calcular el coeficiente de dilatación volumétrico. ¿Cuánto aumenta el volumen del mercurio al calentarlo?