Determinación de la energía del electrón en el modelo de Bohr

La determinación de los niveles de energía Eₙ del electrón en el modelo de Bohr se efectúa combinando un análisis típico de la mecánica clásica con la condición de cuantificación expresada en el cuarto postulado.

Según la física clásica la energía cinética del electrón en órbita viene dada por la expresión:

Ecuación de la energía cinética del electrón

Puesto que de acuerdo con la ecuación (16.8 - Ver "Orbitas, niveles de energía y espectros"):

Ecuación de la energía cinética del electrón

y según la propia definición de energía cinética:

Ec = ½·mₑ·v²

Por otra parte, la electrostática establece que la energía potencial Eₚ para el sistema de cargas protón-electrón viene dada por:

Fórmula de la energía potencial

Siendo en ambas expresiones "K" la constante electrostática de coulomb, es la carga del electrón y "r" el radio de la órbita.

La energía total, suma de cinética y potencial, será, por tanto:

E = Ec + Eₚ

Fórmula de la energía total

Fórmula de la energía total del electrón

Pero "r", de acuerdo con el cuarto postulado, está cuantificado y toma los valores dados por la ecuación (16.10):

Cálculo de la el radio de las órbitas electrónicas

Que sustituida en la expresión de la energía E da como resultado:

Fórmula de la energía orbital del electrón

Expresión de los posibles valores de la energía del electrón del átomo de hidrógeno según el modelo de Bohr.

Aplicación de las ecuaciones características del modelo de Bohr

Determinar el valor de la longitud de onda correspondiente a la onda de materia asociada al electrón de un átomo de hidrógeno:

a) cuando se mueve en la órbita correspondiente al estado fundamental;

b) cuando lo hace en una órbita definida por el número cuántico n = 3.

Solución

a)

El estado fundamental de un electrón es el estado de más baja energía. Dado que en el modelo de Bohr la energía varía con el número cuántico "n" según la ecuación Eₙ = -E₀/n₂, el estado de más baja energía es el que corresponde a n = 1. La ecuación rₙ = a₀·n₂ indica que para n = 1, rₙ = a₀ = 5,29·10⁻¹¹ m. Luego, de acuerdo con la condición de Louis-Victor de Broglie:

2·π·rₙ = n·λ

Resulta:

Cálculo de la longitud de onda

λ = 3,32·10⁻¹⁰ m = 3,32 Å

b)

Repitiendo el razonamiento anterior para n = 3 se tiene:

Cálculo de la longitud de onda

λ = 2·π·a₀·n

Sustituyendo resulta:

λ = 2·π·5,29·10⁻¹¹·3 = 9,96·10⁻¹¹ m = 9,96 Å

Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet).

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