Física - Campo gravitatorio

Contenido

Apunte de Dinámica: Movimiento de planetas y satélites. Velocidad orbital de un satélite. Energía Total. Velocidad de escape. Satélites geoestacionarios. Ejemplos.

Movimiento de planetas y satélites

Velocidad orbital de un satélite

Supongamos que hay una partícula de masa m con trayectoria alrededor de la tierra circular de radio r.

Suponemos que la Tierra está quieta, m lleva velocidad v y no gasta combustible.

F_c = m.a_c = m.v²/r.

OJO: La a_c no depende de la masa, otro cuerpo de masa m` tendría la misma.

Todas las masas en la misma órbita tienen la misma velocidad lineal.

La fuerza gravitatoria de atracción de la Tierra es F = G.M_T.m/r².

Es la misma fuerza vista desde dos puntos de vista distintos.

G.M_T.m/r² = m.v²/r

v² = G.M_T/r

y por tanto

Energía Total

Se llama energía total a la que tiene una masa o satélite que órbita alrededor de la tierra.

Es la suma de la E_c y de la E_p.

Ep = -G.M_T.m/r

Ec = (1/2).m.v² = (1/2).m.G.M_T/r = G.M_T.m/2.r

La energía total es la suma de las dos energías:

E_T = (G.M_T.m/r).(-1 + 1/2) = -G.M_T.m/2.r

Esta es la energía necesaria para que un satélite esté en órbita.

Es negativa e igual a la mitad del valor de la energía potencial. El signo menos corresponde a orbitas cerradas de objetos que no tienen energía suficiente para escapar de la atracción terrestre.

Cuando un satélite cambia de órbita en ausencia de fuerzas exteriores su Energía mecánica se conserva.

E_cA + E_pA = E_cB + E_pB

Entonces si lanzamos el satélite desde la superficie de la tierra ya tiene una cierta energía potencial

E_co + E_po = E_cf + E_pf

E_co - G.M_T.m/R_T = -G.M_T.m/2.r

y por tanto

E_co = -G.M_T.m/2.r + G.M_T.m/R_T

E_co = G.M_T.m.(1/R_T - 1/2.r)

Esto se conoce como energía de satelización.

Si queremos calcular la velocidad inicial necesaria para llegar a esa órbita

(1/2).m.v₀² = G.M_T.m.(1/R_T - 1/2.r)

y por tanto

Velocidad de escape

Es la velocidad que hay que comunicar a un cuerpo de masa m situado sobre la superficie del planeta para que pueda escapar del campo gravitatorio e irse al ∞.

En el ∞ la E_M= 0 ya que hemos dicho que la E_p= 0 y la velocidad con la que llega es 0, por tanto Ec + Ep = 0.

Por tanto:

(1/2).m.v₀² - G.M_T.m./R_T = 0

(1/2).m.v₀² = G.M_T.m./R_T

v₀² = 2.G.M_T./R_T

Se puede escribir:

g_o = G.M_T/R_T²

®

Satélites geoestacionarios

Un satélite se llama geoestacionario cuando se encuentra siempre sobre el mismo punto de la superficie terrestre, es decir, recorre toda su orbita en el tiempo que la tierra hace una rotación completa (24 h)

Aplicando la 3º ley de Kepler:

Si sustituimos los datos:

T = 24 h = 86400 s

G = 6,67 · 10^-11 Nm²/kg² el valor de r = 4,2 · 10⁷ m

M_T= 5,97 · 10²⁴ kg

También puede calcularse r igualando la Fc a la fuerza de Newton m.ω².r = G.M.m/r² y despejar r

Como R_T = 6370 · 10³ m ® h = r – R_T = 35863. Altura de la órbita.

Son órbitas de altitudes elevadas y no obtienen imágenes de alta resolución de la Tierra. Son órbitas ecuatoriales y se usan para aplicaciones meteorológicas y de comunicaciones. Las órbitas de baja altitud (600 a 1200 km) se llaman heliosincronas (orientación fija respecto al Sol). Se usan para observación de la Tierra.

Ver ejemplo n° 1

Ver ejemplo n° 2

Ver ejemplo n° 3

Ver ejemplo n° 4

Razona

- Si el cero de energía potencial gravitatoria de una partícula de masa m se sitúa en la superficie de la Tierra ¿Cuál es le valor de la energía potencial de la partícula cuando se encuentra a una distancia ∞ de la Tierra?

La energía potencial de una masa m a una distancia r de la Tierra es Ep= -G.M_T.m/r. Esta es nula cuando r ® ∞. La Ep siempre es negativa y tiende a 0 cuando la r ® ∞. En la superficie será -G.M.m/R_T

Si cambiara el origen y tomamos la superficie de la Tierra en el ∞ será E = G.M.m/R_T

- ¿Puede ser negativo el trabajo de una fuerza gravitatoria? ¿Y su energía potencial?

La Ep si, como hemos visto, ya que depende del origen.

El trabajo no, ya que la fuerza gravitatoria hace un W espontáneo y positivo.

No influye el origen ya que es una variación de la energía y es independiente del origen