Análisis Matemático - Derivadas

Contenido

Apunte de Derivadas.

Estudio de función

Sea y = f(x)

1. Dominio :

2. Paridad :

para f(x) = f(-x) es par

para f(x) = -f(-x) es impar

3. Signo :

para f(x) > 0 es positiva ® positividad = (, )

para f(x) < 0 es negativa ® negatividad = (, )

4. Intersección con eje x : (raíces)

para y = 0

5. Intersección con eje y :

para x = 0

6. Continuidad :

lim f(x) = f(a) es continua ® a es un punto crítico y finito

x ® a

- de salto: L⁺ ≠ L^- finitos

- punto de infinito: L⁺ = ∞ó L^- = ∞

- esencial : L⁺ ó L^- no existe

- evitable :

L =	lim f(x) ≠ f(a) se salva escribiendo y = f(x) para x ≠ a y L para x = a
	x ® a

Indeterminaciones:

∞- ∞,0 x ∞,1^∞, ∞°

0/0 y ∞/∞(aplicar L´hospital)

7. Asíntotas :

- vertical en x = a:

lim f(x) = ∞ ® a es un valor finito y punto crítico

x ® a

- oblicua en y = m.x + b:

m =	lim	f(x) ® si m = 0 ó ∞ no tiene asíntota oblicua
	x®¥	x

b =	lim [f(x) - m.x]
	x®¥

- horizontal en y = b:

AH =	lim f(x)
	x®¥

si alguno de los límites no existe no existirá esa asíntota.

8. Crecimiento y decrecimiento:

y´ > 0 crece ® crecimiento = (,)

y´ < 0 decrece ® decrecimiento = ( ,)

9. Máximos y mínimos:

y´ = 0 dará valores en x

x₁ luego hacer y₁ = f(x₁) mínimo si cambia de decrecimiento a crecimiento

x₂ luego hacer y₂ = f(x₂) máximo si cambia de crecimiento a decrecimiento

m: (x₁;y₁)

M: (x₂;y₂)

Si y´ ≠ 0 Þno cambia el crecimiento, no tiene máx. ni mín.

10. Concavidad:

y" > 0 Þ cóncava hacia arriba = (,)

y" < 0 Þ cóncava hacia abajo = (,)

11. Punto de inflexión :

y" = 0 Þx₁ = p Þy₁ = f(p) si cambia la concavidad.

P.I.: (x₁;y₁)

Si y" ≠ 0 Þno cambia la concavidad, no tiene pto. de inflexión.

12. Gráfica :

Recta tangente a una curva
Caso 1:

Sea la curva y = f(x) ÙP (x₁;y₁) un punto perteneciente a la curva

La recta tangente será: y_t = m.x + b

m es la pendiente

b la ordenada al origen

f´(x₁) = m

Para generar la ecuación de la recta tangente se puede proceder:

y_t = m.(x - x₁) + y₁

Caso 2:

Sea la curva y = f(x) Ùla recta tangente y_t = m.x + b, hallar el punto de tangencia:

f´(x₁) = m, despejar x₁ y luego hacer y₁ =f(x₁)

luego:

punto de tangencia P (x₁;y₁)