Límites y continuidad
¿Qué es límite?
"En una secuencia infinita de magnitudes, magnitud fija a la que se aproximan cada vez más los términos de la secuencia. Así, la secuencia de los números 2·n/(n + 1), siendo n la serie de los números naturales, tiene como límite el número 2".
Apuntes
- Límites I
Idea intuitiva de límite de una función en un punto - Límites II
Cálculo del límite de funciones polinómicas - Límites III
Límite de una función racional en el infinito. Cálculo de límites de funciones irracionales - Límites - Continuidad I
Función contínua. Operaciones con funciones continuas. Propiedades de las funciones continuas - Límites - Continuidad II
Función constante. Función identidad. Función potencial. Función racional. Función exponencial. Función logarítmica. Clasificación de puntos de discontinuidad - Límites - Teoremas
Propiedades de las funciones continuas. Teoremas del signo, de Bolzano, de Darboux, de Weiestrass - Límites - Continuidad III
Tipos de discontinuidades - Sucesiones y Series
Conjunto acotado. Axiomas de los extremos superior e inferior. Sucesión de números reales. Sucesión constante. Operaciones. Monotonía. Sucesiones acotadas superiormente e inferiormente. Convergencia. Propiedades algebraicas. Sucesiones nulas - Sucesiones y series de números reales (primera parte)
Definición y demostración - Sucesiones y series de números reales (segunda parte)
Teorema de amplitud de ℜ. Límites infinitos. Series numéricas. Ejemplos - Sucesiones y series de números reales (tercera parte)
Concepto de subsucesión de una sucesión. Reordenación de series. - Sucesiones y series de números reales (cuarta parte)
Teorema de Rieman. Criterios de sumabilidad o de convergencia para series de términos positivos. Ejemplos. - Sucesiones y series de números reales (quinta parte)
Criterio de comparación. Criterio de cociente o de D'Alembert. Criterio de la raíz o de Cauchy. Ejemplos. - Sucesiones
Series numéricas y geométricas. Criterio de la integral. Series alternas. Convergencia absoluta. Series de potencia. Serie de Taylor - Superficie de nivel y curvas en ℜ³ I
Continuidad. Derivabilidad. Teorema del valor medio. - Superficie de nivel y curvas en ℜ³ II
Vector tangente. Plano normal en ℜ³. Derivadas de orden superior. - Límite y Continuidad de Funciones (archivo "pdf")
- Colaboración de Eleazar José García. Límite de una función. Definición de límite de una función. Infinitésimo. Infinitésimos equivalente. Límite por la izquierda. Límite por la derecha. Funciones que crecen sin límite. Funciones que decrecen sin límite. Límites indeterminados. Continuidad de una función
- Límites en varias variables
Definición de límites en varias variables. Ejemplos. - Teorema del Sandwich
Definiciones. Continuidad. Ejemplos.
Ejercicios
- Guía nº 1 de ejercicios de cálculo de límites
Problemas con resultado. - Guía nº 2 de ejercicios de cálculo de límites indeterminados
Límites de funciones racionales. Problemas con resultado. - Guía nº 3 de ejercicios de cálculo de límites indeterminados
Límites de funciones irracionales. Problemas con resultado. - Guía nº 4 de ejercicios de cálculo de límites indeterminados
Problemas con resultado. - Guía nº 5 de ejercicios de cálculo de límites indeterminados
Límites de una función irracional en el infinito. Problemas con resultado. - Guía nº 6 de ejercicios de cálculo de límites indeterminados
Límites de una función irracional en el infinito. Problemas con resultado. - Guía nº 7 de ejercicios de cálculo de límites indeterminados
Límites de una función en el infinito. Problemas con resultado. - Guía nº 8 de ejercicios de cálculo de límites indeterminados
Límites de la forma (1 + 1/x)ˣ. Problemas con resultado. - Guía nº 9 de ejercicios de cálculo de asíntotas
Asíntotas horizontales, verticales y oblicuas. Problemas con resultado. - Guía nº 10 de ejercicios de discontinuidad
Puntos de discontinuidad evitable y esencial. Problemas con resultado. - Guía nº 11 de ejercicios de discontinuidad
Estudio de discontinuidad de funciones en un punto. Problemas con resultado. - Guía nº 12 de ejercicios de cálculo de límites laterales
Límites laterales. Problemas con resultado.