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Matemática - Probabilidades y estadísticas
ContenidoApunte de Probabilidades y estadísticas: Distribución de la media de un muestreo. Teorema del límite central. Ejemplos. DISTRIBUCION DE LA MEDIA DE UN MUESTREOSea X1, X2, ..., Xn una muestra aleatoria de una distribución con valor medio μ y desviación estándar σ. Entonces: 1. E(X) = μx = μ 2. V(X) = σx ² = σ ²/n y σx = σ/√n Además, con T0 = X1 + X2 + ... + Xn (la muestra total), E(T0) = n.μ, V(T0) = n.σ ², y σ.T0 = √n.σ.
N: número de muestras. n: número de muestras en el subconjunto extraído del conjunto madre de N muestras. μx = μx σx ² = σ ²/n σx = σ/√n A medida que aumentan las muestras, la variabilidad disminuye. Sea X1, X2, ..., Xn una muestra aleatoria de una distribución normal con valor medio μ y desviación estándar σ. Entonces, para cualquier n, X está normalmente distribuida (con media μ y desviación estándar σ/√n), como es T0 (con media n.μ desviación estándar √n.σ). TEOREMA DEL LIMITE CENTRALTeorema: Sea X1, X2, ..., Xn una muestra aleatoria de una distribución con media μ y varianza σ ². Entonces, si n es suficientemente grande, X tiene aproximadamente una distribución normal con μx = μ y σx ² = σ ²/n, y T0 tiene también aproximadamente una distribución normal con μT0 = n.μ, σ ²T0 = n.σ ². Cuanto mas grande sea el valor de n, mejor será la aproximación. El Teorema del Límite Central garantiza una distribución normal cuando n es suficientemente grande Si n > 30, se puede usar el TLC. Si la distribución madre es normal, la distribución de la media muestral también es normal, independientemente del tamaño. x ≈ N(μx; σx) Þ x ≈ N(μx; σx) Ejemplo 1: Si se sabe que la dureza Rockwell de pernos de cierto tipo tiene un valor medio de 50 y desviación estándar de 1,5. a) Si la distribución es normal, ¿cuál es la probabilidad de que la dureza muestral media para una muestra aleatoria de 9 pernos sea por lo menos 52? b) ¿Cuál es la probabilidad (aproximada) de que la dureza muestral media para una muestra aleatoria de 40 pernos sea al menos 52? x = 50 σ = 1,5 x ≈ N(50; 1,5) a) n = 9 x = 52 x ≈ N(50; 1,5.√9) z = (x - μ)/(σ/√n)
La probabilidad de que la media muestral sea superior a 52 es: P(x ≥ 52) =
Con el valor de z obtenido de tablas: P(x1 ≤ x ≤ x2) =
Tener en cuenta que los valores para: φ(z) = P(z ≤ z1) b) n = 40 Con el valor de z obtenido de tablas: P(x ≥ 52) =
Autor: Ricardo Santiago Netto. Bibliografía: "Probabilidad y estadísticas para ingeniería y ciencias". Jay L. Devore. 1998. • Si utilizaste el contenido de esta página no olvides citar la fuente "Fisicanet"
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