Matemática

Probabilidades y estadísticas: Distribución de la media de un muestreo. Teorema del límite central. Ejemplos.

DISTRIBUCION DE LA MEDIA DE UN MUESTREO

Sea X1, X2, ..., Xn una muestra aleatoria de una distribución con valor medio μ y desviación estándar σ. Entonces:

1. E(X) = μx = μ

2. V(X) = σx² = σ²/n y σx = σ/√n

Además, con T0 = X1 + X2 + ... + Xn (la muestra total), E(T0) = n.μ, V(T0) = n.σ², y σ.T0 = √n.σ.

Fórmulas

N: número de muestras.

n: número de muestras en el subconjunto extraído del conjunto madre de N muestras.

μx = μx

σx² = σ²/n

σx = σ/√n

A medida que aumentan las muestras, la variabilidad disminuye.

Sea X1, X2, ..., Xn una muestra aleatoria de una distribución normal con valor medio μ y desviación estándar σ. Entonces, para cualquier n, X está normalmente distribuida (con media μ y desviación estándar σ/√n), como es T0 (con media n.μ desviación estándar n.σ).

TEOREMA DEL LIMITE CENTRAL

Teorema:

Sea X1, X2, ..., Xn una muestra aleatoria de una distribución con media μ y varianza σ². Entonces, si n es suficientemente grande, X tiene aproximadamente una distribución normal con μx = μ y σx² = σ²/n, y T0 tiene también aproximadamente una distribución normal con μT0 = n.μ, σ²T0 = n.σ². Cuanto mas grande sea el valor de n, mejor será la aproximación.

El Teorema del Límite Central garantiza una distribución normal cuando n es suficientemente grande

Si n > 30, se puede usar el TLC.

Si la distribución madre es normal, la distribución de la media muestral también es normal, independientemente del tamaño.

x ≈ N(μx; σx) ⇒ x ≈ N(μx; σx)

Ejemplo 1:

Si se sabe que la dureza Rockwell de pernos de cierto tipo tiene un valor medio de 50 y desviación estándar de 1,5.

a) Si la distribución es normal, ¿cuál es la probabilidad de que la dureza muestral media para una muestra aleatoria de 9 pernos sea por lo menos 52?

b) ¿Cuál es la probabilidad (aproximada) de que la dureza muestral media para una muestra aleatoria de 40 pernos sea al menos 52?

x = 50

σ = 1,5

x ≈ N(50; 1,5)

a)

n = 9

x = 52

x ≈ N(50; 1,5.√9)

z = (x - μ)/(σ/√n)

 

La probabilidad de que la media muestral sea superior a 52 es:

P(x ≥ 52) = Teorema del límite centralP(z ≥ 4) = 0

Con el valor de z obtenido de tablas:

P(x1x ≤ x2) = Teorema del límite central ⇒ P(z1 ≤ z ≤ z2) = φ(z)

 

Tener en cuenta que los valores para:

φ(z) = P(z ≤ z1)

b)

n = 40

Con el valor de z obtenido de tablas:

P(x ≥ 52) = Teorema del límite centralP(z ≥ 8,4327) = 0

Autor: .

Bibliografía: "Probabilidad y estadísticas para ingeniería y ciencias". Jay L. Devore. 1998.

Editor: Fisicanet ®

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