Matemática - Probabilidades y estadísticas

Contenido

Apunte de Probabilidades y estadísticas: Distribución χ²-cuadrado. Pruebas de Bondad del Ajuste. Características de la multinomial. Prueba de hipotesis para el experimento multinomial. Estadistico de prueba. Tablas de contingencia con dos criterios de clasificación. Ejemplo para prueba de homogeneidad. Ejemplo para prueba de independencia.

Análisis de Datos Categóricos

En el análisis de datos, especialmente del área biológica (Cs. Naturales, Medicina, Farmacología, etc.) a menudo nos encontramos con mediciones de respuestas que son de naturaleza categórica. Éstas respuestas reflejan información de categorías más que mediciones en escala de intervalos o razón.

Extenderemos los principios básicos de la prueba de hipótesis a situaciones que implican variables categóricas.

Trataremos información que se obtiene del recuento del número de casos que se presentan al estudiar caracteristicas cualitativas

Para el desarrollo de los contenidos correspondientes a esta presentación se ha considerado un hilo conductor según se presenta en el mapa conceptual.

La distribución χ² que hemos visto en los capítulos sobre Estimación de Parámetros y de Pruebas de hipótesis con relación a variancias muestrales, tiene un gran campo de aplicación en el análisis de variables de naturaleza categórica,

Introducción

Si consideramos la situación más sencilla de esta unidad donde cada observación de una muestra se clasifica como pertenecientes a un número finito de categorías:

Ejemplo 1

Se observaron 80 nacimientos de un cruzamiento de cerdos de los cuales 42 fueron rojizos, 12 negros y 26 blancos. Las leyes de la herencia implican que estas tres categorías presentan un modelo genético 9:3:4, es decir que deben tener probabilidades 9/16; 3/16 y 4/16 de aparecer en cada cruzamiento. ¿Son los datos consistentes con el modelo teórico propuesto?

Ejemplo 2

En la frontera fitosanitaria de la Patagonia se revisaron cargamentos de frutas de distinta procedencia para evaluar la posibilidad de introducción de mosca de las frutas (Ceratitis capitata), una plaga importante de los frutales, en áreas no infestadas. La información de cargamentos con presencia de la plaga se resume en la siguiente tabla:

Presencia de la plaga	Región de procedencia del cargamento
	Cuyo	NOA	NEA
Con mosca Sin mosca	22 67	32 5	33 10

¿Existe alguna dependencia entre la región de procedencia y la presencia de la plaga?

Ejemplo 3

Una medicación nueva para tratar cierta enfermedad de vacunos se comparó con la medicación de mayor uso. Para esto se tomó al azar un grupo de 300 animales que padecían la enfermedad; a la mitad de éstos, tomados al azar, se los trató con la nueva medicación y a los otros 150, con la medicación tradicional. Luego de un tiempo se analizaron nuevamente los animales con el siguiente resultado:

Tratamiento	Estado de los animales luego del tratamiento
		Empeoró	Sin efecto	Mejoró	Totales
	Nuevo Tradicional	16 20	30 42	104 88	150 150
	Totales	36	72	192	300

¿Considera que estos medicamentos se comportan de manera similar?

Distribución χ²-cuadrado

Para resolver estos problemas utilizaremos la distribución χ²-cuadrado.

La aplicaremos básicamente:

χ²-cuadrado	Bondad de Ajuste	Pruebas con probabilidades de cada categoría completamente especificada Bondad de ajuste a una variable discreta Bondad de ajuste a una variable continua
	Tablas de contingencia	Pruebas de Homogeneidad Pruebas de Independencia

Propiedades χ²-cuadrado

Antes de dar una descripción más detallada de estas pruebas repasemos algunas propiedades de esta distribución:

No toma valores negativos

Tiene una distribución diferente para cada número de grados de libertad

Pruebas de Bondad del Ajuste

(Inferencias acerca del Experimento Multinomial)

Se desea contrastar una distribución de frecuencias observada en una muestra con una distribución de frecuencias teórica

Verificar si responde a un determinado modelo o situación preconcebida.

Es una generalización del experimento binomial.

Para aplicar la prueba se necesita una tabla donde se encuentren registradas las frecuencias observadas y las frecuencias teóricas o esperadas según el modelo. El estadístico que se utiliza en estas pruebas es el siguiente:

donde k es el número de categorías y o_i y e_i son las frecuencia observada y esperada en la i-ésima categoría, respectivamente.

Características de la multinomial

Consta de n ensayos independientes e idénticos.

El resultado de cada ensayo cae en una de las k categorías posibles (medidas en escala nominal) de la única variable, donde k>2.

Hay una probabilidad asociada a cada categoria, la cual es constante de un ensayo a otro

Las categorias son exhaustivas y excluyentes, por lo cual la suma de sus probabilidades es 1

Se obtienen frecuencias observadas para cada categoría, siendo su suma igual a n.

El número esperado de intentos que resulten en la categoría i es E(N_i)= n*π_i,, donde π_i es la probabilidad de que cualquier observación en particular pertenezca a la categoría i

Prueba de hipotesis para el experimento multinomial

Hipotesis nula	H0: π1, π 2, ... , π k poseen valores especificados (iguales o no)
Hipotesis alternativa	Ha: alguna probabilidad de las celdas. Difiere de los valores especificados en H0
Estadistico de prueba	donde o y e representan las Frecuencias observadas y esperadas para cada celda
Región de rechazo	Esta determinada por la distribución χ² , con un determinado α y k - 1 grados de libertad
Supuesto	Las frecuencias esperadas no pueden ser en ningún caso inferiores a 5

Prueba de hipotesis para el experimento multinomial

Bajo la hipótesis nula los n_i deben estar razonablemente cerca de n*π_i

Cuando los valores de π_i difieran marcadamente de lo especificado en la hipótesis nula, los valores observados diferirán de los esperados.

El procedimiento de prueba implica medir las discrepancias entre n_i y n*π_i, rechazando la hipótesis nula cuando la discrepancia sea suficientemente grande

Hay solo k -1 valores de celda determinadas libremente y por lo tanto k -1 grados de libertad.

Dado que grandes discrepancias entre valores observados y esperados conducen a gran valor de ji-cuadrado el rechazo de H₀ es apropiado cuando χ² ≥ χ²_{α, k -1}(unilateral a la derecha)

Veamos un ejemplo utilizado en genética acerca de los experimentos clásicos conducidos por Mendel resuelto en la guía teórica.

Mendel tenía arvejas con dos tipos de tegumento, rugoso y liso y, según su hipótesis, en cruzamientos realizados entre ciertos tipos de plantas, el esperaba que aparecieran en la descendencia de dichos cruzamientos, arvejas de tegumento liso y rugoso en la proporción 3:1, es decir, 3 semillas de tegumento liso por cada semilla de tegumento rugoso.

Supongamos que en un experimento en el cual se obtiene una descendencia compuesta por 400 semillas, un genetista encuentra 285 semillas de tegumento liso y 125, de tegumento rugoso. ¿Sería razonable, con α = 0.05, pensar que esa proporción observada no está demasiado alejada de la proporción 3:1 dictada por la ley de Mendel?

Hipótesis. H₀: la proporción es 3:1; H1: la proporción no es 3:1.

Nivel de significación. α = 0.05.

Estadística de la prueba. que se distribuye compuesto que, para esta prueba k = 2 y, por consiguiente, υ = 2 - 1 = 1.

Regla de decisión. Rechazamos H0 si, y solo si, el valor de χ2 calculado es mayor que 3.84. En caso contrario, se acepta H₀.

Cálculos.

Tegumento	oi	ei	oi - ei	(oi - ei)²/ei
Liso Rugoso	285 115	400.(3/4) = 300 400.(1/4) = 100	15 15	0,75 2,25
Total	400	400	-	3,00

• Decisión. Puesto que 3.0 < 3.84 no puede rechazarse H₀ con α = 0.05. Los datos de la muestra no constituyen una prueba suficiente como para dudar de que las proporciones verdaderas son 3:1.

Aún cuando hemos desarrollado la prueba χ²-cuadrado para situaciones donde k>2, también se puede utilizar cuando k = 2.

La hipótesis nula en este caso se puede expresar como H₀: π₁= π₁₀.

Estas hipótesis también se pueden probar utilizando una prueba z de dos colas con estadísticos de prueba

De manera sorprendente, los dos procedimientos de prueba son completamente equivalentes. Esto es porque se puede demostrar que Z²= χ² y (z_α/2)= χ²_{1 α} de modo que χ² ≥ χ²_{α, k -1} si y sólo si Z ≥ z_α/2.

Tablas de contingencia con dos criterios de clasificación

En una tabla de contingencia la información está representada por conteos o frecuencias organizadas en i-filas y j-columnas (dos criterios de clasificación). Se presentan dos situaciones:

Hay i-poblaciones de interés ubicadas cada una en una fila de la tabla y en cada población se describen j-categorías o atributos. Se toma una muestra de cada población y las frecuencias se anotan en la celda de la tabla.

Hay una sola población de interés, y cada individuo es clasificado respecto a dos factores diferentes (i-categorías de un factor j-categorías de otro). Se toma una sola muestra y se anota el número de individuos en cada categoría de ambos factores.

Características de las tablas de contingencia

Consta de n ensayos independientes e identicos

Hay 2 variables en juego y se representa una tabla de doble entrada

El resultado de cada ensayo cae en una de las celdas, las cuales resultan de las combinaciones posibles de categorias (medidas en escala nominal) de ambas variables

Hay una probabilidad asociada a cada celda, la cual es constante de un ensayo a otro

La probabilidad asociada a cada celda resulta del producto de sus probabilidades marginales

La suma de las probabilidades asociadas a cada celda es 1

Se obtienen frecuencias observadas para cada categoria, siendo su suma igual a n

Caso 1: Prueba de homogeneidad

Ocurre cuando una de las 2 variables es controlada por el investigador, de modo que los totales por fila o por columna estan predeterminados

El analisis es idéntico al de las tablas de contingencia para independencia

La hipotesis nula que se plantea en este caso consiste en sostener que la distribución de proporciones entre las categorias de la variable no controlada (por fila o por columna) es la misma para cada categoria de la variable controlada

Otra manera de abordar el mismo problema es preguntarse si las muestras provienen de la misma población

Prueba de hipótesis para prueba de homogeneidad

Hipótesis. H₀: las i-muestras son extraídas de la misma población. H₁: son extraídas de diferentes poblaciones.

H₀: π_1j= π_2j= π_3j= ...= π_ij

H₁: H₀ no es verdadera

Nivel de significación. α = 0.05.

Estadística de la prueba. que se distribuye aproximadamente como. Aquí υ = (i - 1)·(j - 1)

Regla de decisión. Rechazamos H₀ si, y solo si, el valor de χ² calculado es mayor que χ² _{α,(i-1)*(j-1)}. En caso contrario, se acepta H₀.

El esperado es estimado en cada celda

Ejemplo para prueba de homogeneidad

Objetivo: establecer si las preferencias acerca del envase de dulce de leche son similares para hombres y mujeres

Envase	lata	plastico	carton	vidrio	Total
varones mujeres	27 (19,5) 12 (19,5)	30 (29,5) 29 (29,5)	19 (22,5) 26 (22,5)	24 (28,5) 33 (28,5)	100 100
Total	39	59	45	57	200

h₀: las preferencias (%) acerca del envase de dulce de leche no difieren entre hombres y mujeres

h_a: las preferencias (%) acerca del envase de dulce de leche difieren entre hombres y mujeres

Estadistico χ²*: 8,296 χ² tabla (α = 0,05; gl = 3): 7,81

Valor p: 0,0402

Conclusión: se rechaza h⁰: las preferencias acerca del envase de dulce de leche difieren entre hombres y mujeres

Caso 2: Prueba de independencia

Este tipo de prueba se aplica cuando existe interés en determinar si dos atributos categóricos presentan algún tipo de asociación entre ellos o, por el contrario, son independientes.

Este tipo de información se suele presentar en tablas de doble entrada.

El estadístico que se utiliza en estas pruebas es el mismo que el empleado en las pruebas de bondad del ajuste y homogeneidad.

Se estudia la relación entre dos factores diferentes de la misma población

A diferencia de las pruebas de homogeneidad donde en general los totales de filas están fijos por anticipado, en las pruebas de independencia solo el tamaño muestral es fijo. Por lo tanto los totales de filas como de columnas son variables aleatorias

Hipotesis nula	H0: πij = πi.* π.j las variables son independientes
Hipotesis alternativa	Ha: πij ≠ πi.* π.j las variables no son independientes
Estadistico de prueba	χ² = ∑ (O - E)²/E donde O y E representan las Frecuencias observadas y esperadas para cada celda
Región de rechazo	Esta determinada por la distribución χ² , con un determinado α y (i -1)(j -1) grados de libertad

Ejemplo para prueba de independencia

Una muestra de 500 estudiantes ingresantes en una universidad participó en un estudio diseñada con el fin de evaluar el grado de conocimiento en matemáticas. La siguiente tabla muestra los estudiantes clasificados según su formación secundaria (escuelas técnicas, bachiller y otras) y el nivel de conocimiento en matemáticas (bueno=aprobó el examen; deficiente = no aprobó el examen):

	Bueno	Deficiente
Técnicas Bachiller Otras	20 15 25	60 150 230

¿Confirman estos datos que la aptitud en matemáticas depende de la orientación de los estudios secundarios?

H₀: La aptitud en matemáticas es independiente de la orientación del secundario

H₁: La aptitud en matemáticas es dependiente de la orientación del secundario

Estadistico χ²*: 15,289 χ² tabla (α = 0,05; gl = 2): 5.99

Valor p: 0,00047845

Conclusión: se rechaza h₀: La aptitud en matemáticas es independiente de la orientación del secundario, por lo tanto las variables son dependientes.

Precauciones en la interpretación de resultados

Los grados de libertad dependen de la cantidad de categorías de las variables y no del número de casos, de modo que el valor de tabla no se modifica al aumentar el número de casos

Utilizando muestras grandes, se dice poca cosa al decir que una relación es significativa, ya que es relativamente fácil establecer significación, aún en el caso de que la relación existente sea muy superficial.