Matemática

Probabilidades y estadísticas: Inferencia Estadística. Prueba de Hipótesis. Hipótesis nula unilateral a derecha. Prueba de hipótesis para la media de una Población. Prueba de hipótesis para dos medias. Prueba t para dos muestras suponiendo varianzas iguales. Muestras relacionadas. Prueba z para medias de dos muestras.

Inferencia Estadística

¿Qué es una Hipótesis?

Hipótesis: ES un suposición acerca del valor de un parámetro de una población con el propósito de discutir su validez.

Ejemplo de hipótesis acerca de un parámetro de una población son:

- El sueldo promedio de un profesional asciende a $2,625.

- El veinte por ciento de los consumidores utiliza aceite de oliva

¿Qué es una prueba de hipótesis?

Prueba de hipótesis: es un procedimiento, basado en la evidencia de la muestra y en la teoría de las probabilidades, usado para determinar si la hipótesis es una afirmación razonable y debería no ser rechazada o si no es razonable debería ser rechazada

Prueba de Hipótesis

  Paso 1: Establecer la hipótesis nula y la alternativa

 

  Paso 2: Seleccionar el nivel de significación

 

  Paso 3: Identificar el estadístico de prueba

 

  Paso 4: Formular una regla de decisión

 

  Paso 5: Tomar una muestra, llegar a una decisión

 
 

 

 
No realizar la hipótesis

  Rechazar la nula y aceptar la alternativa

 

Definiciones

Hipótesis nula H0: Una afirmación acerca del valor de un parámetro de la población.

Hipótesis Alternativa H1: Una afirmación que es aceptada si la muestra provee la evidencia de que la hipótesis nula es falsa.

Nivel de significación: La probabilidad de rechazar la hipótesis nula cuando en realidad es verdadera.

Error tipo I: Rechazar la nula cuando en realida es verdadera

Error tipo II: Aceptar la hipótesis nula cuando en realidad es falsa.

Estadístico de prueba: ES un valor, determinado a partir de la información de la muestra, usado para decidir si rechazar o no la hipótesis nula.

Valor crítico:El punto que divide la región entre el lugar en el que la hipótesis nula es rechazada y y la región donde la hipótesis nula es no rechazada.

Hipótesis nula unilateral a derecha

Distribución de muestreo para la estadística z

Una cola - nivel de significación 0.05

Distribución de muestreo para la estadística z

Hipótesis nula bilateral

Distribución de muestreo para la estadística z

A dos colas - nivel de significación 0,05

 

Distribución de muestreo para la estadística z

Prueba de hipótesis para la media de una Población, muestras grandes desviación estándar población conocida

Cuando se plantean hipótesis par la media de la población , a partir de muestras grandes y la desviación estándar poblacional es conocida, el estadísitco de prueba está dado por:

z = (X - μ)/(σ/√n)

Características de la distribución t-Student

Tiene las siguientes propiedades:

- ES continua, campanular, y simétrica como la distribución z.

- Existe una familia de distribuciones t con media cero, pero con diferentes desviaciones estándar.

- la distribución t es más aplanada y de colas más larga que la z.

- Tiende a la z para tamaños grandes de muestra.

Características de la distribución t-Student

Caso 1: Prueba de hipótesis para la media de una Población

Supongamos que una máquina empacadora de harina produce bolsas con un contenido de 50 kg. Para controlar el funcionamiento de la máquina se tomó una muestra de 20 bolsas de harina y el peso medio resultó ser de 42 kg. con un desvío standard de 11 kgs. ¿Está la máquina trabajando correctamente ? ( α = 0.10)

En este caso, se debe considerar que la máquina está trabajando correctamente si produce empaques que no excedan demasiado el peso promedio, ni por encima ni por debajo de 50 kgs, así que se trata claramente de una prueba bilateral.

Caso 1: Prueba de hipótesis para la media de una población, tamaño muestral pequeño y desviación estándar desconocida

La estadística t para el caso de una sola muestra es:

t = (X - μ)/(s/√n)

Resolución

Hipótesis. H0: μ = 50; H1: μ ≠ 50.

Nivel de significación. α = 0.10.

Estadística de prueba.

tn - 1 = (X - μ)/(sn - 1/√n)

Región crítica. Puesto que P(t19 < -1.729 ∪ t19 > +1.729) = 0.10, se rechazará H0 si t < -1.729 ó t > +1.729.

Cálculos. n = 20, = 42, = 5 y

t19 = (42 - 50)/(11/√20) = -8/2,460 = - 3,25

Decisión. Dado que el valor del estadístico de prueba cae netamente en la región crítica izquierda, H0 es rechazada a favor de H1.

Valor P

• Valor p: probabilidad de observar un valor de prueba más extremo que el valor observado, dado que la hipótesi nula es verdadera.

• Si el valor p es más chico que el nivel de significación la hipótesis nula es rechazada.

• Si el valor p es más grande que el nivel de significación la hipótesis nula no es rechazada.

Prueba de hipótesis para dos medias

• Si un número grande de muestras aleatorias e independientes de dos poblaciones normales es seleccionada, la distribución de la diferencias entre las medias de ambas también es normal.

Prueba de hipótesis para dos medias

Caso 2: Prueba de diferencia entre medias con muestras independientes

Un investigador estaba interesado en comparar el efecto de 2 hormonas (A y B) de crecimiento sobre la longitud total alcanzada por una leguminosa. Para ello se tomó una muestra de 20 plantas, asignando al azar 10 a cada hormona. Los resultados en cm. fueron los siguientes:

Hormona A:
Hormona B:

10
15

10
11

13
16

12
17

10
18

8
9

12
14

11
12

16
15

15
16

a) Determinar si hay diferencias significativas entre los crecimientos producidos por ambas hormonas a un nivel del 5%.

b) Realizar el mismo análisis que en a), pero suponiendo que cada una de las parejas, en el orden dado, tienen la misma ascendencia genética.

Prueba de diferencia entre medias con muestras independientes

 

Resolución

Prueba t para dos muestras suponiendo varianzas iguales

Prueba t para dos muestras suponiendo varianzas iguales

 

Caso 3: Muestras relacionadas

En un estudio para predecir a partir del perímetro torácico el peso de novillos de raza británica sin balanza, se compararon las evaluaciones hechas mediante una cinta métrica de origen norteamericano con los obtenidos mediante el pesado por método nacional. Las observaciones para cada animal fueron las siguientes:

Muestras relacionadas

a) ¿Qué tipo de análisis sería correcto realizar? ¿Por qué? ¿Por qué cree que el experimento se diseñó de esa manera? ¿Cómo se debería haber hecho el experimento para que lo correcto fuera otro análisis?

b) ¿Cuáles son las hipótesis que se postulan? ¿Qué significa cada una de ellas?

c) Utilizando un nivel de significación del 5%, ¿cuál es la región de rechazo para el estadístico de prueba?

d) ¿A qué conclusión se llega? ¿En qué se basa dicha conclusión?

e) ¿Qué error se puede estar cometiendo al arribar a la conclusión anterior? ¿En qué consiste dicho error en términos de este problema?

f) Construya un intervalo del 95% de confianza para estimar la diferencia promedio entre los dos preparados.

g) ¿Era de esperar que el intervalo cubriera o no el valor 0? ¿Por qué?

Muestras relacionadas

Muestras relacionadas

Muestras relacionadas

Prueba t para medias de dos muestras emparejadas

Prueba t para medias de dos muestras emparejadas

 

Prueba t para dos muestras suponiendo varianzas iguales

Prueba t para dos muestras suponiendo varianzas iguales

 

Prueba t para dos muestras suponiendo varianzas desiguales

Prueba t para dos muestras suponiendo varianzas desiguales

 

Prueba z para medias de dos muestras

Prueba z para medias de dos muestras

Prueba z para medias de dos muestras

 

Análisis de variancia - Caso de una sola variable. Varias Muestras

Una compañía de alimentos envasados desea probar 4 nuevos diseños de empaques para un nuevo cereal para desayunos. Se seleccionaron 10 negocios con igual volumen de ventas como unidades experimentales. A cada negocio se le consignó al azar un diseño de empaque. Tres diseños de empaques se asignaron al azar a 3 negocios y el otro diseño fue asignado a dos negocios. Todas las otras condiciones ajenas al empaque, como precio , cantidad de estantes y localización de los mismos y esfuerzos especiales de promoción, se mantuvieron constantes (homogéneos) para todos los negocios del experimento. Las ventas, según número de casos, fueron registradas para el período de estudio y los resultados se presentan en la siguiente tabla:

Número de ventas por negocio para cada uno de los 4 diseños

Diseño de empaques

Negocios, repetición

Total

N° de negocios

Media

1

2

3

1

12

18

3

33

3

11

2

14

12

13

39

3

13

3

19

17

21

57

3

19

4

24

30

24

78

3

26

Total

     

207

12

17,25

Análisis de varianza de un factor

Análisis de varianza de un factor

 

Autor: .

Editor: Fisicanet ®

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