Análisis Matemático - Integrales

Contenido

Apunte de Integrales: Cambio de coordenadas en integrales dobles. De cartesianas a polares y viceversa. Volumen de un sólido de revolución. Baricentro de un dominio plano. Teorema de Pappus-Guldin.

INTEGRALES DOBLES

CAMBIO DE COORDENADAS EN LAS INTEGRALES DOBLES

De coordenadas cartesianas a polares:

Conviene cuando el dominio es circular para lograr límites de integración constantes.

1. Cambio de dominio: D® D´

2. Cambio de función: f(x,y)® f(r.cos θ,r.sen θ)

3. Cambio de elemento de área: dx.dy = r.d θ.dr

∫∫_D f(x, y)dx.dy =∫∫_D´ f(r.cos θ,r.sen θ)r.d θ.dr

Cálculo del área de un dominio:

De coordenadas cartesianas a curvilíneas:

Conviene para trasladar el dominio al eje de coordenadas y para redondearlo, luego proceder en polares si es que sirve.

Siendo:

x = x(u,v)

y = y(u,v)

Resulta:

∫∫_D f(x, y)dx.dy =∫∫_D´ f(x(u,v), y(u,v))|J(u, v)|du.dv

dx.dy® |J(u, v)|du.dv

ó

siendo:	x = r.cos θ	® J(θ,r) =	-r.sen θ	cos θ	= -r
	y = r.sen θ		r.cos θ	sen θ

Resulta:

∫∫_D f(x, y)dx.dy =∫∫_D´ f(r.cos θ,r.sen θ)r.d θ.dr

VOLUMEN DE UN SOLIDO DE REVOLUCION

Para el dominio:

D = {(x, y): x₁ ≤ x ≤ x2, α (x) ≤ y ≤ β(x)}

Alrededor del eje x :

BARICENTRO DE UN DOMINIO PLANO

Si: δ = δ (x, y)

El punto G = (x_G, y_G) es el baricentro, según:

xG =	∫∫Dx.δ(x,y).dx.dy
	∫∫Dδ(x,y).dx.dy
yG =	∫∫Dy.δ(x,y).dx.dy
	∫∫Dδ(x,y).dx.dy

Si δ es constante:

Teorema de Pappus-Guldin: El volumen del sólido de rotación es igual al área de la sección meridiana multiplicada por la longitud de la circunferencia descrita por su baricentro.

V_x = A_D.l_G