Análisis Matemático

Límites: Tipos de discontinuidades. Discontinuidad evitable, discontinuidad de salto finito e infinito.

Tipos de discontinuidades:

Para empezar, si f: A ⊂ R → R no es continua en a ∈ A, entonces a es pto. de acumulación de A.

Al no ser continua f en a, puede ocurrir:

1.- Que exista lim x → a f(x) pero que sea distinto que f(a), se dice entonces que f tiene una discontinuidad evitable en a.

Ejemplo:

f: x ∈ R →

x si x ≠ 0

1 si x=0

lim x → 0 f(x) = 0 ≠ f(0)

2.- Que no exista lim x → a f(x) pero que existan lim x → a‾ f(x), lim x → a+ f(x) pero que sean distintos. Se dice, entonces, que f tiene una discontinuidad de salto finito.

Ejemplo:

f: x ∈ R →

-1 si x ≤0

1 si x > 0

lim x → 0‾ f(x) = -1

lim x → 0+ f(x) = 1

En ese ejemplo lim x → 0‾ f(x) = f(0)

se dice que es continua en 0 por la izqda.

2*.- Discontinuidad de salto infinito cuando alguno de los límites laterales es infinito (+4, -4). Evitable infinito cuando lim x → a+ f(x) = +4

Ejemplo:

f: x ∈ R →

1/x si x ≠ 0

1 si x=0

3.- No existe alguno de lo límites laterales. Discontinuidad esencial o de 2ª especie.

Ejemplo:

f: x ∈ R →

0 si x ∈ Q

1 si x ∉ Q

Otra forma de decir que una función es continua es esta:

∀ ε> 0, ∃ δ> 0 / f-1(]f(a) - ε, f(a) + ε [) ⊂ ]a - δ ,a + δ [

Teniendo en cuenta que este particular espacio topológico (R con su topología natural), un conjunto U⊂ R es entorno de un punto p ∈ R, si sólo si (por definición) U contiene contiene algún intervalo centrado en p, podemos decir que f: A ⊂ R → R es continua en a ∈ A cuando:

∀V ∈ V°(f(a)), f-1(V) ∈ V°(a) donde V°(A) son entornos de a con la topología relativa de A, es decir, con conjuntos que son intersección con A de lo entornos (con la topología de R).

Teorema:

Si f: A ⊂ R → R es continua y A es compacto entonces f(A) también es compacto.

Demostración:

Por hipótesis de todo recubrimiento abierto de A se puede extraer un subrecubrimiento finito (A es compacto).

Sea {Gi / i ∈ I} un recubrimiento abierto de f(A). Por ser f continua cada f-1(Gi) es un abierto de A, luego {f-1(Gi) / i ∈ I} es un recubrimiento abierto de A. Como A es compacto ∃i1.....in en I / {f-1(Gi1).....f-1(G in)} es un recubrimiento de A ⇒ {Gi1....G in} es un recubrimiento de f(A).

Corolario:

Si A es compacto y f: A ⊂ R → R es continua, entonces f alcanza un mínimo y un máximo, es decir, ∃a, b ∈ A / f(a) = min. {f(x) / x ∈ A}, f(b) = máx. {f(x) / x ∈ A}

Demostración:

Como f(A) es compacto, acotado y cerrado, existe m = inf.f(A), n = sup. f(A). Como f(A) es cerrado el inf y el sup. de él pertenecen a él.

Ejemplo:

f: x ∈ ]0, +4[ → 1/x

Es continua pero no alcanza ni el máximo ni el mínimo.

Sup. f(]0,+4[) = "+4"

Inf. F(]0, +4[) = 0

f: x ∈ ]0, 1[ → x

inf. f(]0, 1[) = 0 ó a, b ∈ ]0, 1[ / f(a) = 0, f(b) = 1

sup f(]0, 1[) = 1 ó a, b ∈ ]0, 1[ / f(a) = min. f(A), f(b) = máx. f(A)

Sabemos por el teorema anterior que si f: A ⊂ R → R es continua, entonces si A es compacto implica que f(A) es compacto.

Sin embargo:

1.- A abierto no ⇒f(A) abierto

Ejemplo:

f: x ∈ ]-1, 1[ → x²

f (]-1, 1[) = [0, 1[

2.- A cerrado no ⇒f(A) cerrado

Ejemplo:

f: x ∈ [1, +4[ → 1/x

f([1, +4[) = ]0, 1]

3.- A acotado no ⇒f(A) acotado

f es secuencialmente continua : ⇔ [(xn) → a ⇒ f(x) → f(a)]

Acabamos de ver que en R:

f secuencialmente continua ⇔ f continua

Un intervalo en sentido amplio en R es un conjunto I tal que x, y∈ I, x < z < y ⇒z ∈ I (un conjunto tal que, si contiene a dos puntos, también contiene a todo los intermedios).

Es evidente que I es un intervalo en sentido amplio si y sólo si es de la forma:Ø, {a}, [a, b], [a, b[, ]a, b], ]a, b[, con a < b, ]-4,a], ]-4,a[, ]a, +4[, [a, +4[,]-4,+4[.

Teorema (del valor medio para funciones continuas):

Si f: [a, b] ⊂ R → R es continua y tal que f(a)·f(b) < 0 entonces existe c ∈ ]a, b[ tal que f(c) = 0

Demostración:

Supongamos que f(a) < 0 < f(b). Consideremos el conjunto M = {x ∈ [a, b] / f(x) < 0}, M es no vacío, a ∈ M y acotado superiormente, b es cota superior de M. Por tanto, tiene supremo. Sea c = sup M. Vamos a ver a < c < b y f(c) = 0. Para ello veremos cuatro casos, en cada uno de ellos el argumento es el mismo:

1.- a < c

2.- c < b (ejercicio)

3.- f(c) no < 0

4.- f(c) no > 0 (ejercicio)

1.- Por ser f continua en c y tal que f(a) < 0, dado -f(a) > 0, ∃ δ> 0 / x ∈ [a, b], |x - a|<δ ⇒ |f(x) - f(a)| < -f(a). Luego f(x) = 0

Como [a, a + δ ] ⊂ M ⇒c ≥a + δ ⇒c > a

3.- Supongamos que f(c) < 0, por ser f continua en c (ya se sabe que c ∈ [a, b]), dado -f(c) > 0, ∃ δ> 0 / x ∈ [a, b], |x - c| < δ ⇒ |f(a) - f(c)| < -f(c) ⇒f(x) < 0

Como a < c < b, eso significa que hay puntos en M a la derecha de c, luego c no es cota superior de M. Contradicción.

Corolario:

Si I es un intervalo (en sentido amplio) y f: I → R es continuo, entonces f(I) también es un intervalo (en sentido amplio).

En otras palabras, f alcanza todo valor comprendido entre dos que alcanza. Es decir, si x, y∈ I, x < y, f(x) < η < f(y), (lo mismo si f(y) < η < f(x)), entonces existe ξ, δ entre x, y tal que f(ξδ) = η

En efecto, basta considerar la función continua g: t∈ [x, y] → g(t) = f(t) - η

Ejemplo:

Función no continua que también lleva intervalos en intervalos:

f: x ∈ R → f(x) =

Sen. 1/x si ≠ 0

0 si x = 0

Damos por sabido que la función x ∈ R → sen x es continua y, por tanto, también lo es su composición con la x ∈ R \ {0} → 1/x. Es decir, f es continua en R - {0}. Sin embargo, no es continua en 0. Basta tener en cuenta que ∀ δ > 0, ∀z ∈ [-1, 1], ∃x ∈ ]- δ , δ [ / f(x) = z

Lim x → 0 sup f(x) = 1; Lim x → 0 inf f(x) = -1

Esta f transforma intervalos en intervalos.

Si 0 ∉ I, f continua

Si 0 ∈ I, f(0) = 0, 0 ∈ f(I)⊂ [-1, 1].

Ejercicio:

Ver que si f: R → R tiene alguna discontinuidad de salto, entonces no lleva intervalos en intervalos.

Teorema (Weierstrass):

Si A ⊂ R es compacto y f: A ⊂ R → R es continua entonces es uniformemente continua.

Toda función continua en un compacto es uniformemente continua.

La definiciones implicadas son:

f es continua en A ⇔ ∀ x ∈ A, ∀ ε> 0, ∃ δ> 0 / y ∈ A, |x - y| < δ ⇒ |f(x) - f(y)| < ε

f es uniformemente continua en A ⇔ ∀ ε > 0, ∃ δ> 0 / x, y ∈ A, |x - y| < δ ⇒|f(x) - f(y)| < ε.

Un ejemplo de continua no uniformemente continua es la f: x ∈ R \ {0} → 1/x ó f: x ∈ R → x² ó f: x ∈ ]0, 1[ → 1/x (Nótese que R\{0}, R, ]0, 1[ no son compactos).

Demostración:

Que f es continua en A significa que:

∀x ∈ A, ∀ ε> 0, ∃ δx / y ∈ A, |x - y| < δ x ⇒|f(x) - f(y)| < ε /2

Naturalmente,{]x - δ x/2,x + δ x/2[ / x ∈ A} es un recubrimiento abierto de A ("cada punto de a con su paraguas"). Como A es compacto, basta con finitos de ellos, es decir, existen x1,........., xn ∈ A tales que {]x1 - δ x/2,x1 + δ x/2[......]xn - δ x/2,xn + δ x/2[} recubren a A.

Sea δ = min { δ x1/2,..........., δ x2/2}> 0

Entonces, si x, y ∈ A, |x - y| < δ , existe k ∈ {1,....., n} tal que x ∈ ]xk - δ xk/2, x + δ xk/2[ y tenemos que |y - xk| ≤ |y - x + x - xk| < δ + δ xk/2 ≤ δ xk

Por tanto, x, y ∈ A, |x - y| < δ ⇒|f(x) - f(y)| ≤|f(x) - f(xk)| + |f(xk) - f(y)| < ε /2 + ε /2= ε

Editor: Fisicanet ®

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