Matemática - Sistemas de Ecuaciones

Contenido

Apunte de Sistemas de Ecuaciones.

Sistemas de Ecuaciones

# concepto y representacion

# RESOLUCION DE SISTEMAS

# TIPOS DE SISTEMAS

# TEOREMA ROUCHE-FROBENIUS

# REGLA DE CRAMER

# SISTEMAS HOMOGENEOS

# POR DESCOMPOSICION L U

concepto y representacion

Llamaremos sistema de m ecuaciones con n incognitas a toda expresión:

a₁₁ x₁ + a₁₂ x₂ +...+ a_1n x_n = b₁

a₂₁ x₁ + a₂₂ x₂ +...+ a_2n x_n = b₂

_{.......................}

a_m1 x₁ + a_m2 x₂ +...+ a_{m n} x_n = b_m

Donde:

aij Î K bi Î K xi

son los coeficientes son los términos independientes son las incognitas

a) Se puede representar de forma MATRICIAL:

A · X = B

Donde

A = Matriz de los coeficientes x = Vector solución B = Vector de Términos Independientes A* = Resulta de añadir los términos independientes a la matriz A

b) También de forma VECTORIAL :

x₁ A₁ + x₂ A₂ + ... + x_n A_n = B (Donde Ai son las columnas de A)

c) Como una APLICACION LINEAL

Sabiendo que toda matriz de dimensión m x n define una aplicación lineal f: Kⁿ K^m respecto de las bases canónicas de Kⁿ y K^m.

Podemos entender un sistema de m ecuaciones y n incognitas, como una aplicación lineal coeficientes de las distintas incognitas Î K ⁿ

SIMPLIFICACION

Si a un sistema de ecuaciones se le añade un numero finito de ecuaciones lineales que son combinaciones lineales de las dadas, el nuevo sistema es equivalente al inicial.

Del mismo modo si eliminamos una ecuacion que sea c.l. de otra se puede eliminar.

solución del sistema

Si (α ₁, α ₂,..., α _n) satisface las m ecuaciones decimos que α es el vector solución del sistema.

Según el numero de soluciones un sistema puede ser:

SISTEMA HOMOGENEO:	Si los términos independientes son cero
SISTEMA INCOMPATIBLE:	Si el sistema no tiene solucion
SISTEMA COMPATIBLE	DETERMINADO: INDETERMINADO:	Si el sistema posee una una solucion Si el sistema posee infinitas soluciones

Si dos sistema tienen las mismas soluciones son EQUIVALENTES

Si Ax = b un sistema de ecuaciones podemos ver la matriz A como asociada a una aplicación lineal f.

Resolver el sistema es hallar f ^-1(b) = x + Ker f donde f(x) = b.

Ej.- Obtener una base del espacio vectorial solución del sistema:

x + 0.y + 0.z + 0.t = 0

x + 0y - 1z + at = 0	Þ	x = 0 Þ (x, y, z, t) = (0, y, 0, 0)
3x + 0y - 1z + at = 0		t = 0
bx + 0y + 0z + 1t =		z = 0

La solución es < (0, 1, 0, 0) > que es base del espacio vectorial formado por las soluciones.

TEOREMA ROUCHE-FROBENIUS

Dado Ax = b un sistema de m ecuaciones con n incognitas, tiene solución si:

rango A = rango A* = n° de incognitas (n) rango A = rango A* < n° de incognitas (n) rango A < rango A*

S. C. DETERMINADO S. C. INDETERMINADO S. INCOMPATIBLE

REGLA DE CRAMER

Dado un sistema COMPATIBLE DETERMINADO, tenemos que:

Su expresion matricial es A X = B y al ser rg A = n Þ |A| ≠ 0 y además A tiene inversa A ^-1. Así pues:

A^-1 · A · X = A^-1 · B Þ I · X = A^-1 · B Þ X = A^-1 · B Þ X = ( 1/|A| · A^t)· B Þ

Þ x_i = 1/|A| · (A_1i b₁ + A_2i b₂ +....+ A_{n i} b_n)

De donde obtenemos la Regla de CRAMER:

det(B, C2, C3,..., Cn)		det(C1, B, C3,..., Cn)		det(C1, C2, C3,..., B)
x1 =	,	x2 =	,.......	xn =
det |A|		det |A|		det |A|

Si el sistema es COMPATIBLE INDETERMINADO podemos resolverlo por CRAMER:

- Pasamos una de las incognitas a la matriz de los términos independientes en cada ecuacion.

- Resolvemos el sistema por CRAMER, y nos daran las soluciones en funcion de esa incognita.

- Expresamos la solución en forma de envoltura lineal.

Ej.- Resolver el sistema

x + y + z = 1 por CRAMER

x - y + 3z = 3

Cambiamos z por λ y pasamos λ a la derecha

Resolvemos el sistema por CRAMER y obtenemos:

x = -2 λ +2 de modo que la solución es {(-2 λ + 2, -1 + λ, λ) ; λ Î R}Þ {(2, -1, 0) + (-2 λ, λ, λ); λ Î R}

y = -1 + λ

y por ultimo extrayendo λ tenemos que las infinitas soluciones del sistema son:

{ (2, -1, 0) + < (-2, 1, 1) > }

SISTEMAS HOMOGENEOS

Un sistema homogeneo siempre posee, al menos, la solución trivial (x, y, z, t ...) = (0, 0, 0...0).

Por el T.de Rouche podemos afirmar que siempre es compatible, ya que Rg A = Rg A*. Ax = 0

Si rg A = rg A* = n es S.C.Determinado con la solución trivial como única solucion.

Si rg A = rg A* < n es S.C.Indeterminado cuyas soluciones son los valores que anulan la ecuacion.

Es decir, los valores de las incognitas para los cuales f es cero (Ker f).

Un sistema homogeneo siempre se puede expresar con n ecuaciones con n incognitas. De modo que si faltan ecuaciones (ecuaciones < incognitas) se añaden combinaciones lineales y si sobran (ecuaciones > incognitas) entonces se eliminan pq alguna ecuacion será c.l.

Ej.- Resolver el siguiente sistema homogeneo:

x + y + z = 0

2x + 2y +2z = 0

x + y - z = 0

3x + 3y + z = 0

Primero eliminamos la segunda ecuacion pq es proporcional a la primera.

Hallamos el determinante de A para saber el rango

Como C1 = C2 el rango es dos. Y al ser homogeneo Rg A = Rg A* = 2 < n.incognitas Þ S.C.I

Si resolvemos el sistema por igualacion tenemos x = - y por lo que la solución es { (x, -x, 0) : Î R}

O lo que es lo mismo { < (1, -1, 0) > } = Ker (f) si tomamos el sistema como la ap. lineal f.

METODO DE GAUSS

Consiste en transformar un sistema Ax = B en un sistema triangular Ux = c realizando operaciones elementales de Gauss en la matriz ampliada A *. El sistema triangular obtenido es equivalente al inicial.

Si al reducir por Gauss llegaramos a un absurdo como 0 = 1 el Sistema inicial era Incompatible.

Ej.- Resolvemos el sistema anterior por Gauss

x + y +z = 0

x + y - z = 0

3x + 3y + z = 0

x + y+ z = 0 Þ z = 0 Þ x = -y

Solución: < (x, -x, 0) > ; x Î R

POR DESCOMPOSICION L U

Dado un sistema AX = B siendo A una matriz cuadrada (incognitas = ecuaciones) podemos encontrar la descomposicion LU de la matriz A de modo que A = L · U.

A X= B Û LU X= B Û UX = Y

L Y = B

La solución se obtiene resolviendo dos sistemas triangulares, se resuelve LY = B y una vez tenemos el vector Y hallamos X, las componentes de X con las incognitas x, y, z, t...

Este metodo es util para la resolucion se sistemas simultáneos, es decir, que con una sola descomposicion LU podemos hallar las soluciones de un mismo sistema para cualquier valor que tomen sus términos independientes (cambiando B).