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Contenido: Recta tangente a una curva en un punto. Derivada primera de una función. ¿Qué representa la pendiente de una curva? ¿Qué es la recta tangente a una curva en un punto?

Recta tangente a una curva en un punto

Gráfica de la curva, la recta tangente a la curva y su pendiente
Gráfica de la curva, la recta tangente a la curva y su pendiente

m = Δy/Δx ⇒ m = tg α

y2' = ƒ'(x)

Pero y2' en a:

tg α = ƒ'(a) ⇒ m = ƒ'(a)

Por lo tanto la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto a, es:

y1 = ƒ'(a)·x + b

Las coordenadas forman el punto de intersección entre la recta (tangente a la curva) y la curva.

1) Dado el punto P(a; ya), hallar la ecuación de la recta tangente

  1. Derivar la función de la curva.
    y2' = ƒ'(x)
  2. Reemplazar en la derivada x por el valor a.
    y2' = ƒ'(a)
  3. El resultado es la pendiente m.
    m = ƒ'(a)
  4. Armar la ecuación de la recta con m y el punto dado.
    y1 = m·(x - a) + ya

2) Dadas las ecuaciones de la recta y la curva, verificar que la recta sea tangente a la curva

  1. Se debe hallar el punto de intersección entre ambas funciones, esto se logra igualando las funciones.
    y1 = y2 ⇒ m·x + b = ƒ(x)
  2. Despejando x se obtiene el valor de a, ya que x = a
  3. Con el valor de x reemplazar en y1 ó y2 para hallar ya
  4. El punto de intersección será:
    P(a; ya)
  5. Derivar la función de la curva.
    y2' = ƒ'(x)
  6. Reemplazar en la derivada x por el valor a.
    y2' = ƒ'(a)
  7. Verificar que ƒ'(a) sea igual a m.
    y2' = m

3) Dada una recta cualquiera (y = m3·x + b3), hallar la recta tangente paralela a una curva

  1. La pendiente de esta recta (m3) debe ser igual a la pendiente de la recta tangente (m1).
    m3 = m1
  2. Además, esta pendiente, debe ser igual al valor de la derivada en el punto de intersección.
    m3 = ƒ'(a) ⇒ m3 = ƒ'(x)
  3. Despejar el x = a
  4. Con el valor de x reemplazar en y2 para hallar ya
  5. El punto de intersección será:
    P(a; ya)
  6. Armar la ecuación de la recta tangente con m3 y el punto hallado.
    y1 = m3·(x - a) + ya

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