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Estudio de función
Sea y = ƒ(x)
- Dominio:
- Paridad:
Para ƒ(x) = ƒ(-x) es par
Para ƒ(x) = -ƒ(-x) es impar - Signo:
Para ƒ(x) > 0 es positiva → positividad = (,)
Para ƒ(x) < 0 es negativa → negatividad = (,) - Intersección con eje X: (raíces)
Para y = 0 - Intersección con eje Y:
Para x = 0 - Continuidad:
lim ƒ(x) = ƒ(a) es contínua → a es un punto crítico y finito
x → a
- de salto: L+ ≠ L¯ finitos
- punto de infinito: L+ = ∞ó L¯ = ∞
- esencial: L+ ó L¯ no existe
- evitable:
L = | lim ƒ(x) ≠ ƒ(a) se salva escribiendo y = ƒ(x) para x ≠ a y L para x = a |
x → a |
Indeterminaciones:
∞ - ∞, 0 x ∞, 1∞, ∞°
0/0 y ∞/∞ (aplicar L'Hospital)
7. Asíntotas:
vertical en x = a:
lim ƒ(x) = ∞ → a es un valor finito y punto crítico
x → a
oblicua en y = m·x + b:
m = | lim | ƒ(x) → si m = 0 ó ∞ no tiene asíntota oblicua |
x → ∞ | x |
b = | lim [ƒ(x) - m·x] |
x → ∞ |
horizontal en y = b:
AH = | lim ƒ(x) |
x → ∞ |
Si alguno de los límites no existe no existirá esa asíntota.
8. Crecimiento y decrecimiento:
y' > 0 crece → crecimiento = (,)
y' < 0 decrece → decrecimiento = (,)
9. Máximos y mínimos:
y' = 0 dará valores en x
x1 luego hacer y1 = ƒ(x1) mínimo si cambia de decrecimiento a crecimiento
x2 luego hacer y2 = ƒ(x2) máximo si cambia de crecimiento a decrecimiento
m: (x1; y1)
M: (x2; y2)
Si y' ≠ 0 ⇒ no cambia el crecimiento, no tiene máximo ni mínimo.
10. Concavidad:
y" > 0 ⇒ cóncava hacia arriba = (,)
y" < 0 ⇒ cóncava hacia abajo = (,)
11. Punto de inflexión:
y" = 0 ⇒ x1 = p ⇒ y1 = ƒ(p) si cambia la concavidad.
P.I.: (x1; y1)
Si y" ≠ 0 ⇒ no cambia la concavidad, no tiene pto. de inflexión.
12. Gráfica:
Recta tangente a una curva
Caso 1:
Sea la curva y = ƒ(x) ∧ P(x1; y1) un punto perteneciente a la curva.
La recta tangente será: yt = m·x + b
m es la pendiente
b la ordenada al origen
ƒ'(x1) = m
Para generar la ecuación de la recta tangente se puede proceder:
yt = m·(x - x1) + y1
Caso 2:
Sea la curva y = ƒ(x) ∧la recta tangente yt = m·x + b, hallar el punto de tangencia:
ƒ'(x1) = m, despejar x1 y luego hacer y1 = ƒ(x1)
Luego, punto de tangencia P(x1; y1)
Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)
San Martín. Buenos Aires. Argentina.
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