Estudio de función. AP02

Contenido: Estudio de función. Positividad y negatividad. Continuidad. Crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos. Concavidad. ¿Qué son los valores máximos y mínimos de una función? ¿Qué es el incremento de la función?

Estudio de función

Sea y = ƒ(x)

  1. Dominio:
  2. Paridad:
    Para ƒ(x) = ƒ(-x) es par
    Para ƒ(x) = -ƒ(-x) es impar
  3. Signo:
    Para ƒ(x) > 0 es positiva → positividad = (,)
    Para ƒ(x) < 0 es negativa → negatividad = (,)
  4. Intersección con eje X: (raíces)
    Para y = 0
  5. Intersección con eje Y:
    Para x = 0
  6. Continuidad:
    lim ƒ(x) = ƒ(a) es contínua → a es un punto crítico y finito
    x → a
  • de salto: L+ ≠ L‾ finitos
  • punto de infinito: L+ = ∞ó L‾ = ∞
  • esencial: L+ ó L‾ no existe
  • evitable:

L =

lim ƒ(x) ≠ ƒ(a) se salva escribiendo y = ƒ(x) para x ≠ a y L para x = a

x → a

Indeterminaciones:

∞ - ∞, 0 x ∞, 1, ∞°

0/0 y ∞/∞ (aplicar L'Hospital)

7. Asíntotas:

vertical en x = a:

lim ƒ(x) = ∞ → a es un valor finito y punto crítico

x → a

oblicua en y = m·x + b:

m =

lim

ƒ(x) → si m = 0 ó ∞ no tiene asíntota oblicua

x → ∞

x

b =

lim [ƒ(x) - m·x]

x → ∞

horizontal en y = b:

AH =

lim ƒ(x)

x → ∞

Si alguno de los límites no existe no existirá esa asíntota.

8. Crecimiento y decrecimiento:

y' > 0 crece → crecimiento = (,)

y' < 0 decrece → decrecimiento = (,)

9. Máximos y mínimos:

y' = 0 dará valores en x

x1 luego hacer y1 = ƒ(x1) mínimo si cambia de decrecimiento a crecimiento

x2 luego hacer y2 = ƒ(x2) máximo si cambia de crecimiento a decrecimiento

m: (x1; y1)

M: (x2; y2)

Si y' ≠ 0 ⇒ no cambia el crecimiento, no tiene máximo ni mínimo.

10. Concavidad:

y" > 0 ⇒ cóncava hacia arriba = (,)

y" < 0 ⇒ cóncava hacia abajo = (,)

11. Punto de inflexión:

y" = 0 ⇒ x1 = p ⇒ y1 = ƒ(p) si cambia la concavidad.

P.I.: (x1; y1)

Si y" ≠ 0 ⇒ no cambia la concavidad, no tiene pto. de inflexión.

12. Gráfica:

Recta tangente a una curva

Caso 1:

Sea la curva y = ƒ(x) ∧ P(x1; y1) un punto perteneciente a la curva.

La recta tangente será: yt = m·x + b

m es la pendiente

b la ordenada al origen

ƒ'(x1) = m

Para generar la ecuación de la recta tangente se puede proceder:

yt = m·(x - x1) + y1

Caso 2:

Sea la curva y = ƒ(x) ∧la recta tangente yt = m·x + b, hallar el punto de tangencia:

ƒ'(x1) = m, despejar x1 y luego hacer y1 = ƒ(x1)

Luego, punto de tangencia P(x1; y1)

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