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Estudio de función

Sea y = f(x)

1) Dominio:

2) Paridad:
Para f(x) = f(-x) es par
Para f(x) = -f(-x) es impar

3) Signo:
Para f(x) > 0 es positiva → positividad = (,)
Para f(x) < 0 es negativa → negatividad = (,)

4) Intersección con eje X: (raíces)
Para y = 0

5) Intersección con eje Y:
Para x = 0

6) Continuidad:
lim f(x) = f(a) es contínua → a es un punto crítico y finito
x → a

L =lim f(x) ≠ f(a) se salva escribiendo y = f(x) para x ≠ a y L para x = a
x → a

Indeterminaciones:

∞ - ∞, 0 x ∞, 1, ∞°

0/0 y ∞/∞ (aplicar L'Hospital)

7. Asíntotas:

vertical en x = a:

lim f(x) = ∞ → a es un valor finito y punto crítico

x → a

oblicua en y = m·x + b:

m =limf(x) → si m = 0 ó ∞ no tiene asíntota oblicua
x → ∞x
b =lim [f(x) - m·x]
x → ∞

horizontal en y = b:

AH =lim f(x)
x → ∞

Si alguno de los límites no existe no existirá esa asíntota.

8. Crecimiento y decrecimiento:

y' > 0 crece → crecimiento = (,)

y' < 0 decrece → decrecimiento = (,)

9. Máximos y mínimos:

y' = 0 dará valores en x

x1 luego hacer y1 = f(x1) mínimo si cambia de decrecimiento a crecimiento

x2 luego hacer y2 = f(x2) máximo si cambia de crecimiento a decrecimiento

m: (x1; y1)

M: (x2; y2)

Si y' ≠ 0 ⇒ no cambia el crecimiento, no tiene máximo ni mínimo.

10. Concavidad:

y" > 0 ⇒ cóncava hacia arriba = (,)

y" < 0 ⇒ cóncava hacia abajo = (,)

11. Punto de inflexión:

y" = 0 ⇒ x1 = p ⇒ y1 = f(p) si cambia la concavidad.

P.I.: (x1; y1)

Si y" ≠ 0 ⇒ no cambia la concavidad, no tiene pto. de inflexión.

12. Gráfica:

Recta tangente a una curva

Caso 1:

Sea la curva y = f(x) ∧ P(x1; y1) un punto perteneciente a la curva.

La recta tangente será: yt = m·x + b

m es la pendiente

b la ordenada al origen

f'(x1) = m

Para generar la ecuación de la recta tangente se puede proceder:

yt = m·(x - x1) + y1

Caso 2:

Sea la curva y = f(x) ∧la recta tangente yt = m·x + b, hallar el punto de tangencia:

f'(x1) = m, despejar x1 y luego hacer y1 = f(x1)

Luego, punto de tangencia P(x1; y1)

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