Estudio de función

Sea y = f(x)

1) Dominio:

2) Paridad:
Para f(x) = f(-x) es par
Para f(x) = -f(-x) es impar

3) Signo:
Para f(x) > 0 es positiva ⟶ positividad = (,)
Para f(x) < 0 es negativa ⟶ negatividad = (,)

4) Intersección con eje X: (raíces)
Para y = 0

5) Intersección con eje Y:
Para x = 0

6) Continuidad:
lim f(x) = f(a) es contínua ⟶ a es un punto crítico y finito
x ⟶ a

• de salto: L⁺ ≠ L⁻ finitos
• punto de infinito: L⁺ = ∞ó L⁻ = ∞
• esencial: L⁺ ó L⁻ no existe
• evitable:

Se salva escribiendo y = f(x) para x ≠ a y L para x = a

Indeterminaciones:

∞ - ∞, 0 x ∞, 1^∞, ∞°

0/0 y ∞/∞ (aplicar L'Hospital)

7. Asíntotas:

vertical en x = a:

lim f(x) = ∞ ⟶ a es un valor finito y punto crítico

x ⟶ a

oblicua en y = m·x + b:

Si m = 0 ó ∞ no tiene asíntota oblicua

horizontal en y = b:

Si alguno de los límites no existe no existirá esa asíntota.

8. Crecimiento y decrecimiento:

y' > 0 crece ⟶ crecimiento = (,)

y' < 0 decrece ⟶ decrecimiento = (,)

9. Máximos y mínimos:

y' = 0 dará valores en x

x₁ luego hacer y₁ = f(x₁) mínimo si cambia de decrecimiento a crecimiento

x₂ luego hacer y₂ = f(x₂) máximo si cambia de crecimiento a decrecimiento

m: (x₁; y₁)

M: (x₂; y₂)

Si y' ≠ 0 ⇒ no cambia el crecimiento, no tiene máximo ni mínimo.

10. Concavidad:

y" > 0 ⇒ cóncava hacia arriba = (,)

y" < 0 ⇒ cóncava hacia abajo = (,)

11. Punto de inflexión:

y" = 0 ⇒ x₁ = p ⇒ y₁ = f(p) si cambia la concavidad.

P.I.: (x₁; y₁)

Si y" ≠ 0 ⇒ no cambia la concavidad, no tiene pto. de inflexión.

12. Gráfica:

Recta tangente a una curva

Caso 1:

Sea la curva y = f(x) ∧ P(x₁; y₁) un punto perteneciente a la curva.

La recta tangente será: yₜ = m·x + b

m es la pendiente

b la ordenada al origen

f'(x₁) = m

Para generar la ecuación de la recta tangente se puede proceder:

yₜ = m·(x - x₁) + y₁

Caso 2:

Sea la curva y = f(x) ∧la recta tangente yₜ = m·x + b, hallar el punto de tangencia:

f'(x₁) = m, despejar x₁ y luego hacer y₁ = f(x₁)

Luego, punto de tangencia P(x₁; y₁)

Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina

¿Qué son los valores máximos y mínimos de una función? ¿Qué es el incremento de la función?