Estudio de función

Sea y = f(x)

1. Dominio:
2. Paridad:
   para f(x) = f(-x) es par
   para f(x) = -f(-x) es impar
3. Signo:
   para f(x) > 0 es positiva → positividad = (,)
   para f(x) < 0 es negativa → negatividad = (,)
4. Intersección con eje x: (raíces)
   para y = 0
5. Intersección con eje y:
   para x = 0
6. Continuidad:
   lim f(x) = f(a) es contínua → a es un punto crítico y finito
   x → a

• de salto: L⁺ ≠ L‾ finitos
• punto de infinito: L⁺ = ∞ó L‾ = ∞
• esencial: L⁺ ó L‾ no existe
• evitable:

Indeterminaciones:

∞- ∞,0 x ∞,1^∞, ∞°

0/0 y ∞/∞(aplicar L´hospital)

7. Asíntotas:

vertical en x = a:

lim f(x) = ∞ → a es un valor finito y punto crítico

x → a

oblicua en y = m·x + b:

horizontal en y = b:

si alguno de los límites no existe no existirá esa asíntota.

8. Crecimiento y decrecimiento:

y´ > 0 crece → crecimiento = (,)

y´ < 0 decrece → decrecimiento = (,)

9. Máximos y mínimos:

y´ = 0 dará valores en x

x₁ luego hacer y₁ = f(x₁) mínimo si cambia de decrecimiento a crecimiento

x₂ luego hacer y₂ = f(x₂) máximo si cambia de crecimiento a decrecimiento

m: (x₁;y₁)

M: (x₂;y₂)

Si y´ ≠ 0 ⇒ no cambia el crecimiento, no tiene máx. ni mín.

10. Concavidad:

y" > 0 ⇒ cóncava hacia arriba = (,)

y" < 0 ⇒ cóncava hacia abajo = (,)

11. Punto de inflexión:

y" = 0 ⇒ x₁ = p ⇒ y₁ = f(p) si cambia la concavidad.

P.I.: (x₁;y₁)

Si y" ≠ 0 ⇒ no cambia la concavidad, no tiene pto. de inflexión.

12. Gráfica:

Recta tangente a una curva

Caso 1:

Sea la curva y = f(x) ∧P (x₁;y₁) un punto perteneciente a la curva

La recta tangente será: y_t = m·x + b

m es la pendiente

b la ordenada al origen

f´(x₁) = m

Para generar la ecuación de la recta tangente se puede proceder:

y_t = m·(x - x₁) + y₁

Caso 2:

Sea la curva y = f(x) ∧la recta tangente y_t = m·x + b, hallar el punto de tangencia:

f´(x₁) = m, despejar x₁ y luego hacer y₁ =f(x₁)

luego:

punto de tangencia P (x₁;y₁)