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Contenido: Estudio de función. Positividad y negatividad. Continuidad. Crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos. Concavidad. ¿Qué son los valores máximos y mínimos de una función? ¿Qué es el incremento de la función?

Estudio de función

Sea y = ƒ(x)

1. Dominio:
2. Paridad:
   Para ƒ(x) = ƒ(-x) es par
   Para ƒ(x) = -ƒ(-x) es impar
3. Signo:
   Para ƒ(x) > 0 es positiva → positividad = (,)
   Para ƒ(x) < 0 es negativa → negatividad = (,)
4. Intersección con eje X: (raíces)
   Para y = 0
5. Intersección con eje Y:
   Para x = 0
6. Continuidad:
   lim ƒ(x) = ƒ(a) es contínua → a es un punto crítico y finito
   x → a

• de salto: L⁺ ≠ L‾ finitos
• punto de infinito: L⁺ = ∞ó L‾ = ∞
• esencial: L⁺ ó L‾ no existe
• evitable:

Indeterminaciones:

∞ - ∞, 0 x ∞, 1^∞, ∞°

0/0 y ∞/∞ (aplicar L'Hospital)

7. Asíntotas:

vertical en x = a:

lim ƒ(x) = ∞ → a es un valor finito y punto crítico

x → a

oblicua en y = m·x + b:

horizontal en y = b:

Si alguno de los límites no existe no existirá esa asíntota.

8. Crecimiento y decrecimiento:

y' > 0 crece → crecimiento = (,)

y' < 0 decrece → decrecimiento = (,)

9. Máximos y mínimos:

y' = 0 dará valores en x

x₁ luego hacer y₁ = ƒ(x₁) mínimo si cambia de decrecimiento a crecimiento

x₂ luego hacer y₂ = ƒ(x₂) máximo si cambia de crecimiento a decrecimiento

m: (x₁; y₁)

M: (x₂; y₂)

Si y' ≠ 0 ⇒ no cambia el crecimiento, no tiene máximo ni mínimo.

10. Concavidad:

y" > 0 ⇒ cóncava hacia arriba = (,)

y" < 0 ⇒ cóncava hacia abajo = (,)

11. Punto de inflexión:

y" = 0 ⇒ x₁ = p ⇒ y₁ = ƒ(p) si cambia la concavidad.

P.I.: (x₁; y₁)

Si y" ≠ 0 ⇒ no cambia la concavidad, no tiene pto. de inflexión.

12. Gráfica:

Recta tangente a una curva

Caso 1:

Sea la curva y = ƒ(x) ∧ P(x₁; y₁) un punto perteneciente a la curva.

La recta tangente será: y_t = m·x + b

m es la pendiente

b la ordenada al origen

ƒ'(x₁) = m

Para generar la ecuación de la recta tangente se puede proceder:

y_t = m·(x - x₁) + y₁

Caso 2:

Sea la curva y = ƒ(x) ∧la recta tangente y_t = m·x + b, hallar el punto de tangencia:

ƒ'(x₁) = m, despejar x₁ y luego hacer y₁ = ƒ(x₁)

Luego, punto de tangencia P(x₁; y₁)

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