Diferenciales. AP05

Contenido: Funcion diferencial total. Ecuación del plano tangente. Derivadas direccionales. Derivadas parciales de funciones implícitas ¿Qué es el gradiente y qué representa?

Diferencial

Función diferencial total

d(ƒ(x, y)) = (∂ƒ/∂x)·dx + (∂ƒ/∂y)·dy

Ecuación del plano tangente a la gráfica ƒ(x, y) en el punto (x0, y0, ƒ(x0, y0)):

z = ƒ(x0, y0) + (∂ƒ/∂x)·(x - x0) + (∂ƒ/∂y)·(y - y0)

Incremento de altura del plano tangente:

d(ƒ(x0, y0))

Derivadas direccionales:

Du ƒ(X) = ∇ƒ(X)·u

Du ƒ(x, y) = (∂ƒ/∂x)·cos x·u + (∂ƒ/∂y)·cos y·u

Vector dirección u:

u = (u1, u2)

  • u1 = cos x·u
  • u2 = cos y·u
  • u = V/|V|

Máxima derivada direccional:

∇ƒ(X0, Y0)·∇ƒ(X0, Y0)/|∇ƒ(X0, Y0)|

Máxima velocidad de crecimiento de la función:

|∇ƒ(X0, Y0)|

Dirección de máxima velocidad de la función:

∇ƒ(X0, Y0)

Significado geométrico del gradiente:

El gradiente de una función ƒ(X) = ƒ(x, y, z), diferenciable en un abierto U de ℜ³, en un punto ordinario X0, es un vector que, pensándolo aplicado en X0, resulta normal a la superficie de nivel de la ƒ(X) que pasa por X0, o sea, a la superficie ƒ(X) = ƒ(X0).

Recta normal a una superficie ƒ(x, y) en X0:

(x, y, z) = (x0, y0, z0) + t·∇ƒ(x0, y0, z0)

Derivadas parciales de funciones implícitas:

Derivadas parciales de funciones implícitas

Longitud de una curva:

Longitud de una curva

En paramétricas:

Longitud de una curva en paramétricas

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Signos utilizados en las fórmulas y cálculos:

  • Signo separador de miles: punto (.)
  • Signo separador decimal: coma (,)
  • Signo de multiplicación: punto medio (·) o × (para producto vectorial)
  • Signo de división: barra (/) o dos puntos (:)

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