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Diferencial
Función diferencial total
d(ƒ(x, y)) = (∂ƒ/∂x)·dx + (∂ƒ/∂y)·dy
Ecuación del plano tangente a la gráfica ƒ(x, y) en el punto (x0, y0, ƒ(x0, y0)):
z = ƒ(x0, y0) + (∂ƒ/∂x)·(x - x0) + (∂ƒ/∂y)·(y - y0)
Incremento de altura del plano tangente:
d(ƒ(x0, y0))
Derivadas direccionales:
Du ƒ(X) = ∇ƒ(X)·u
Du ƒ(x, y) = (∂ƒ/∂x)·cos x·u + (∂ƒ/∂y)·cos y·u
Vector dirección u:
u = (u1, u2)
- u1 = cos x·u
- u2 = cos y·u
- u = V/|V|
Máxima derivada direccional:
∇ƒ(X0, Y0)·∇ƒ(X0, Y0)/|∇ƒ(X0, Y0)|
Máxima velocidad de crecimiento de la función:
|∇ƒ(X0, Y0)|
Dirección de máxima velocidad de la función:
∇ƒ(X0, Y0)
Significado geométrico del gradiente:
El gradiente de una función ƒ(X) = ƒ(x, y, z), diferenciable en un abierto U de ℜ³, en un punto ordinario X0, es un vector que, pensándolo aplicado en X0, resulta normal a la superficie de nivel de la ƒ(X) que pasa por X0, o sea, a la superficie ƒ(X) = ƒ(X0).
Recta normal a una superficie ƒ(x, y) en X0:
(x, y, z) = (x0, y0, z0) + t·∇ƒ(x0, y0, z0)
Derivadas parciales de funciones implícitas:
Longitud de una curva:
En paramétricas:
Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)
San Martín. Buenos Aires. Argentina.
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