Diferencial

1) Función diferencial total

df(x, y) = (∂f/∂x)·dx + (∂f/∂y)·dy

2) Ecuación del plano tangente a la gráfica f(x, y) en el punto (x₀, y₀, f(x₀, y₀)):

z = f(x₀, y₀) + (∂f/∂x)·(x - x₀) + (∂f/∂y)·(y - y₀)

3) Incremento de altura del plano tangente:

df(x₀, y₀)

4) Derivadas direccionales:

D_u f(X) = ∇f(X)·u

D_u f(x, y) = (∂f/∂x)·cos x·u + (∂f/∂y)·cos y·u

5) Vector dirección u:

u = (u₁, u₂)

• u₁ = cos x·u
• u₂ = cos y·u
• u = V/|V|

6) Máxima derivada direccional:

∇f(X₀, Y₀)·∇f(X₀, Y₀)/|∇f(X₀, Y₀)|

7) Máxima velocidad de crecimiento de la función:

|∇f(X₀, Y₀)|

8) Dirección de máxima velocidad de la función:

∇f(X₀, Y₀)

9) Significado geométrico del gradiente:

El gradiente de una función f(X) = f(x, y, z), diferenciable en un abierto U de ℜ³, en un punto ordinario X₀, es un vector que, pensándolo aplicado en X₀, resulta normal a la superficie de nivel de la f(X) que pasa por X₀, o sea, a la superficie f(X) = f(X₀).

10) Recta normal a una superficie f(x, y) en X₀:

(x, y, y) = (x₀, y₀, z₀) + t·∇f(x₀, y₀, z₀)

11) Derivadas parciales de funciones implícitas: