Diferenciales: Funcion diferencial total

Función diferencial total

d(f(x, y)) = (∂f/∂x)·dx + (∂f/∂y)·dy

Ecuación del plano tangente a la gráfica f(x, y) en el punto (x₀, y₀, f(x₀, y₀)):

z = f(x₀, y₀) + (∂f/∂x)·(x - x₀) + (∂f/∂y)·(y - y₀)

Incremento de altura del plano tangente:

d(f(x₀, y₀))

Derivadas direccionales:

Dᵤ f(X) = ∇f(X)·u

Dᵤ f(x, y) = (∂f/∂x)·cos x·u + (∂f/∂y)·cos y·u

Vector dirección u:

u = (u₁, u₂)

u₁ = cos x·u

u₂ = cos y·u

u = V/|V|

Máxima derivada direccional:

∇f(X₀, Y₀)·∇f(X₀, Y₀)/|∇f(X₀, Y₀)|

Máxima velocidad de crecimiento de la función:

|∇f(X₀, Y₀)|

Dirección de máxima velocidad de la función:

∇f(X₀, Y₀)

Significado geométrico del gradiente:

El gradiente de una función f(X) = f(x, y, z), diferenciable en un abierto U de ℜ³, en un punto ordinario X₀, es un vector que, pensándolo aplicado en X₀, resulta normal a la superficie de nivel de la f(X) que pasa por X₀, o sea, a la superficie f(X) = f(X₀).

Recta normal a una superficie f(x, y) en X₀:

(x, y, z) = (x₀, y₀, z₀) + t·∇f(x₀, y₀, z₀)

Derivadas parciales de funciones implícitas:

Longitud de una curva:

En paramétricas:

Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina

¿Qué es el gradiente y qué representa?