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Contenido: Funcion diferencial total. Ecuación del plano tangente. Derivadas direccionales. Derivadas parciales de funciones implícitas ¿Qué es el gradiente y qué representa?

Diferencial

Función diferencial total

d(ƒ(x, y)) = (∂ƒ/∂x)·dx + (∂ƒ/∂y)·dy

Ecuación del plano tangente a la gráfica ƒ(x, y) en el punto (x₀, y₀, ƒ(x₀, y₀)):

z = ƒ(x₀, y₀) + (∂ƒ/∂x)·(x - x₀) + (∂ƒ/∂y)·(y - y₀)

Incremento de altura del plano tangente:

d(ƒ(x₀, y₀))

Derivadas direccionales:

D_u ƒ(X) = ∇ƒ(X)·u

D_u ƒ(x, y) = (∂ƒ/∂x)·cos x·u + (∂ƒ/∂y)·cos y·u

Vector dirección u:

u = (u₁, u₂)

• u₁ = cos x·u
• u₂ = cos y·u
• u = V/|V|

Máxima derivada direccional:

∇ƒ(X₀, Y₀)·∇ƒ(X₀, Y₀)/|∇ƒ(X₀, Y₀)|

Máxima velocidad de crecimiento de la función:

|∇ƒ(X₀, Y₀)|

Dirección de máxima velocidad de la función:

∇ƒ(X₀, Y₀)

Significado geométrico del gradiente:

El gradiente de una función ƒ(X) = ƒ(x, y, z), diferenciable en un abierto U de ℜ³, en un punto ordinario X₀, es un vector que, pensándolo aplicado en X₀, resulta normal a la superficie de nivel de la ƒ(X) que pasa por X₀, o sea, a la superficie ƒ(X) = ƒ(X₀).

Recta normal a una superficie ƒ(x, y) en X₀:

(x, y, z) = (x₀, y₀, z₀) + t·∇ƒ(x₀, y₀, z₀)

Derivadas parciales de funciones implícitas:

Longitud de una curva:

En paramétricas:

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