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Campos vectoriales

Diferenciales exactas

El diferencial:

ω = f·dx + g·dy + h·dz

Es exacto si, siendo el campo asociado:

F = (f, g, h)

Se cumple que:

∇ω = F ⇒ ∇ω = (f, g, h)

Siendo ω(X) el potencial de F, tal que:

f = ωx

g = ωy

g = ωz

ω = ωx·dx + ωy·dy + ωz·dz

Campos centrales

Teorema 3.8.II

Campo conservativo en un camino abierto conexo (para los puntos P y Q):

C F = ω (Q) - ω (P)

Teorema 3.8.III

Campo conservativo en un camino abierto conexo:

C F = 0

Teorema 3.8.IV

Campo conservativo continuo en un camino abierto conexo:

Teorema 3.8.V

Campo conservativo de clase C¹ en un camino abierto (conexo o no):

F'(X) = fxfyfz  fy = gx 
gxgygzgz = hy
hxhyhzhx = fz

Campos homogéneos

Si: F(t·X) = tα·F(x)

Siendo α el grado de homogeneidad de F.

Teorema de Euler

Si F es homogénea de grado α:

X·∇F(x) = α·F(x)

Teorema 3.10.II

Siendo F homogénea de grado α ≠ -1 y cumple con 3.8.II

ω(X) = (a + 1)-1·X·F(x)

Para ℜ² y ℜ³

Aplicaciones del teorema de Green - campos vectoriales

Teorema 3.11.I:

Si cumple con 3.8.13 y es C¹, D dominio regular:

∂D F = 0

Teorema 3.11.II:

Si cumple con 3.8.13 y es C¹, para A simplemente conexo:

F es conservativo en A.

Teorema 3.11.III:

Si P es laguna, para cualquier circunferencia de centro en P:

D F = constante

Teorema 3.11.IV:

Para curvas de Green (dentro de una circunferencia).

Si cumple con 3.8.13 y es C¹, antihorario:

C1 F = C2 F

C1 F + C2 F = ∂D F

Teorema 3.11.V:

Para curvas de Green (dentro de una circunferencia).

Si cumple con 3.8.13 y es C¹, antihorario:

C F = p

p: período del campo F relativo a la laguna P.

Teorema 3.11.VI:

Si p es cero el campo es conservativo (P = laguna)

Integrales curvilíneas de funciones

Cálculo de integrales curvilíneas de funciones

Centro de masa o baricentro:

Suponiendo δ (x, y, z) = constante:

xG = C x·ds
C ds
 
yG =C y·ds
C ds
 
zG =C z·ds
C ds

Si δ (x, y, z) no es constante se incorpora bajo el símbolo de integral en numerador y denominador.

Teorema de la divergencia en el plano (Gauss)

Para:

F = (Q, P)

C(t) = (x(t), y(t))

Siendo:

n = [y'(t), -x'(t)]/||C'(t)||

div F = ∂P/∂x + ∂Q/∂y

El Teorema de la divergencia es:

D divF·dx·dy = ∂D F·n·ds

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