Éste sitio web usa cookies, si permanece aquí acepta su uso. Puede leer más sobre el uso de cookies en nuestra política de privacidad.

 

Campos vectoriales. AP06

Contenido: Resumen y fórmulas: Campos vectoriales. Campos centrales. Campos homogéneos. Teorema de Euler. Teorema de Green. ¿Qué es un campo vectorial? ¿Qué es la divergencia de un vector?

Campos vectoriales

Diferenciales exactas

El diferencial:

ω = f·dx + g·dy + h·dz

es exacto si, siendo el campo asociado:

F = (f,g,h)

se cumple que:

∇ω = F ⇒ ∇ω = (f,g,h)

siendo ω (X) el potencial de F, tal que:

f = ωx

g = ωy

g = ωz

ω = ωx·dx + ωy·dy + ωz·dz

Campos centrales

Teorema 3.8.II

Campo conservativo en un camino abierto conexo (para los puntos P y Q):

C F = ω (Q) - ω (P)

Teorema 3.8.III

Campo conservativo en un camino abierto conexo:

Teorema 3.8.IV

Campo conservativo continuo en un camino abierto conexo:

 

Teorema 3.8.V

Campo conservativo de clase C¹ en un camino abierto (conexo o no):

Campos homogéneos

Si: F(t·X) = tα·F(X)

Siendo α el grado de homogeneidad de F.

Teorema de Euler

Si F es homogénea de grado α:

X·∇F(X) = α·F(X)

Teorema 3.10.II

Siendo F homogénea de grado α ≠ -1 y cumple con 3.8.II

ω (X) = (a + 1)-1·X·F(X)

para ℜ² y ℜ³

Aplicaciones del teorema de Green - campos vectoriales

Teorema 3.11.I:

Si cumple con 3.8.13 y es C¹, D dominio regular:

∂D F = 0

Teorema 3.11.II:

Si cumple con 3.8.13 y es C¹, para A simplemente conexo:

F es conservativo en A.

Teorema 3.11.III:

Si P es laguna, para cualquier circunferencia de centro en P:

Aplicaciones del teorema de Green

Teorema 3.11.IV:

Para curvas de Green (dentro de una circunferencia).

Si cumple con 3.8.13 y es C¹, antihorario:

Aplicaciones del teorema de Green

Aplicaciones del teorema de Green

Teorema 3.11.V:

Para curvas de Green (dentro de una circunferencia).

Si cumple con 3.8.13 y es C¹, antihorario:

C F = p

p: período del campo F relativo a la laguna P.

Teorema 3.11.VI:

Si "p" es cero el campo es conservativo (P = laguna)

Integrales curvilíneas de funciones

Integrales curvilíneas de funciones

Centro de masa o baricentro:

Suponiendo δ (x,y,z) = constante:

xG =

Cx·ds

C·ds

 

yG =

Cy·ds

C·ds

 

zG =

Cz·ds

C·ds

Si δ (x,y,z) no es constante se incorpora bajo el símbolo de integral en numerador y denominador.

Teorema de la divergencia en el plano (Gauss)

Para:

F = (Q,P)

C(t) = (x(t),y(t))

Siendo:

n = [y´(t), -x´(t)]/||C´(t)||

div F = ∂P/∂x + ∂Q/∂y

El Teorema de la divergencia es:

Si has utilizado el contenido de esta página, por favor, no olvides citar la fuente "Fisicanet ®".

Por favor, "copia y pega" el enlace completo a ésta página.

https://www.fisicanet.com.ar/matematica/diferenciales/ap06_diferenciales.php

¡Gracias!

Copyright © 2000-2028 Fisicanet ® Todos los derechos reservados

https://www.fisicanet.com.ar/matematica/diferenciales/ap06_diferenciales.php