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Solución del ejercicio n° 18 de ecuaciones diferenciales NO homogéneas. Problema resuelto. Ejemplo de integración de ecuaciones diferenciales

Problema n° 18 de ecuaciones diferenciales

Problema n° 18

y" + 3·y = x²; y(0) = 0; y'(0) = 1

Cálculo de las raíces:

λ² + 3 = 0

λ² = -3

λ = ±-3

λ = ±i²·3

λ1,2 = ±i·3

La integral homogénea es:

y* = C1·cos 3·x + C2·sen 3·x

Cálculo de la integral particular:

y = a·x² + b·x + c

Sus derivadas son:

y' = 2·a·x + b

y" = 2·a

Debe verificar:

y" + 3·y = x²

2·a + 3·(a·x² + b·x + c) = x²

La integral particular es:

2·a + 3·a·x² + 3·b·x + 3·c = x²

3·a·x² + 3·b·x + 2·a + 3·c = x²

3·a = 1 ⇒ a = 1/3

3·b = 0 ⇒ b = 0

2·a + 3·c = 0 ⇒ 2·(1/3) + 3·c = 0 ⇒ 3·c = -2/3 ⇒ c = -⅔

y = (3/3)·x² - ⅔

Luego la integral general es:

yp = y* + y

yp = C1·cos 3·x + C2·sen 3·x + (3/3)·x² - ⅔

Para el punto dado:

yp = C1·cos 3·x + C2·sen 3·x + (3/3)·x² - ⅔

y'p = -3·C1·sen 3·x + 3·C2·cos 3·x + (2·3/3)·x

yp(0) = C1·cos 0 + C2·sen 0 - ⅔

yp(0) = C1 - ⅔

y'p(0) = -3·C1·sen 0 + 3·C2·cos 0

y'p(0) = 3·C2

Luego:

yp(0) = C1 - ⅔ = 0 ⇒C1 = ⅔

y'p(0) = 3·C2 = 1 ⇒ C2 = 1/3

yp = ⅔·cos 3·x + (1/3)·sen 3·x + (3/3)·x² - ⅔

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