Ejemplo de integración de ecuaciones diferenciales

Problema n° 18 de ecuaciones diferenciales

Enunciado del ejercicio n° 18

y" + √3·y = x²; y(0) = 0; y'(0) = 1

Cálculo de las raíces:

λ² + √3 = 0

λ² = -√3

λ = ±√-√3

λ = ±√i²·√3

λ_1,2 = ±i·∜3

La integral homogénea es:

y* = C₁·cos ∜3·x + C₂·sen ∜3·x

Cálculo de la integral particular:

y = a·x² + b·x + c

Sus derivadas son:

y' = 2·a·x + b

y" = 2·a

Debe verificar:

y" + √3·y = x²

2·a + √3·(a·x² + b·x + c) = x²

La integral particular es:

2·a + √3·a·x² + √3·b·x + √3·c = x²

√3·a·x² + √3·b·x + 2·a + √3·c = x²

√3·a = 1 ⇒ a = 1/√3

√3·b = 0 ⇒ b = 0

2·a + √3·c = 0 ⇒ 2·(1/√3) + √3·c = 0 ⇒ √3·c = -2/√3 ⇒ c = -⅔

y = (√3/3)·x² - ⅔

Luego la integral general es:

y_p = y* + y

y_p = C₁·cos ∜3·x + C₂·sen ∜3·x + (√3/3)·x² - ⅔

Para el punto dado:

y_p = C₁·cos ∜3·x + C₂·sen ∜3·x + (√3/3)·x² - ⅔

y'_p = -∜3·C₁·sen ∜3·x + ∜3·C₂·cos ∜3·x + (2·√3/3)·x

y_p(0) = C₁·cos 0 + C₂·sen 0 - ⅔

y_p(0) = C₁ - ⅔

y'_p(0) = -∜3·C₁·sen 0 + ∜3·C₂·cos 0

y'_p(0) = ∜3·C₂

Luego:

y_p(0) = C₁ - ⅔ = 0 ⇒C₁ = ⅔

y'_p(0) = ∜3·C₂ = 1 ⇒ C₂ = 1/∜3

y_p = ⅔·cos ∜3·x + (1/∜3)·sen ∜3·x + (√3/3)·x² - ⅔

Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

San Martín. Buenos Aires. Argentina.