Problema n° 21 de ecuaciones diferenciales

Enunciado del ejercicio n° 21

y" - y = 2·x³ + e-x + 1

Cálculo de las raíces:

λ² - 1 = 0

λ² = 1

λ1,2 = ±1

La integral homogénea es:

y* = c1·e-3·x + c2·ex

Cálculo de la integral particular:

y1 = a·x³ + b·x² + c·x + d

y2 = c3·x·e-x

Sus derivadas son:

y'1 = 3·a·x² + 2·b·x + c

y"1 = 6·a·x + 2·b

y'2 = c3·e-x - c3·x·e-x

y"2 = -2·c3·e-x + c3·x·e-x

Debe verificar:

y"1 + y1 = 2·x³ + 1

6·a·x + 2·b - (a·x³ + b·x² + c·x + d) = 2·x³ + 1

6·a·x + 2·b - a·x³ - b·x² - c·x - d = 2·x³ + 1

-a·x³ - b·x² + 6·a·x - c·x + 2·b - d = 2·x³ + 1

-a·x³ - b·x² + (6·a - c)·x + 2·b - d = 2·x³ + 1

-a = 2

a = -2

-b = 0

b = 0

6·a - c = 0

6·a = c

6·(-2) = c

c = -12

2·b - d = 1

2·0 - d = 1

-d = 1

d = -1

y"2 + y2 = e-x

-2·C3·e-x + C3·x·e-x - C3·x·e-x = e-x

-2·C3·e-x = e-x

-2·C3 = 1

C3 = -½

La integral particular es:

y1 = -2·x³ - 12·x - 1

y2 = x·e-x/2

Luego la integral general es:

yp = y* + y1 + y2 = C1·e-x + C2·ex - 2·x³ - 12·x - 1 - x·e-x/2

Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina

Ejemplo de integración de ecuaciones diferenciales

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