Problema n° 21 de ecuaciones diferenciales
Enunciado del ejercicio n° 21
y" - y = 2·x³ + e-x + 1
Cálculo de las raíces:
λ² - 1 = 0
λ² = 1
λ1,2 = ±1
La integral homogénea es:
y* = c1·e-3·x + c2·ex
Cálculo de la integral particular:
y1 = a·x³ + b·x² + c·x + d
y2 = c3·x·e-x
Sus derivadas son:
y'1 = 3·a·x² + 2·b·x + c
y"1 = 6·a·x + 2·b
y'2 = c3·e-x - c3·x·e-x
y"2 = -2·c3·e-x + c3·x·e-x
Debe verificar:
y"1 + y1 = 2·x³ + 1
6·a·x + 2·b - (a·x³ + b·x² + c·x + d) = 2·x³ + 1
6·a·x + 2·b - a·x³ - b·x² - c·x - d = 2·x³ + 1
-a·x³ - b·x² + 6·a·x - c·x + 2·b - d = 2·x³ + 1
-a·x³ - b·x² + (6·a - c)·x + 2·b - d = 2·x³ + 1
-a = 2
a = -2
-b = 0
b = 0
6·a - c = 0
6·a = c
6·(-2) = c
c = -12
2·b - d = 1
2·0 - d = 1
-d = 1
d = -1
y"2 + y2 = e-x
-2·C3·e-x + C3·x·e-x - C3·x·e-x = e-x
-2·C3·e-x = e-x
-2·C3 = 1
C3 = -½
La integral particular es:
y1 = -2·x³ - 12·x - 1
y2 = x·e-x/2
Luego la integral general es:
yp = y* + y1 + y2 = C1·e-x + C2·ex - 2·x³ - 12·x - 1 - x·e-x/2
Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina
Ejemplo de integración de ecuaciones diferenciales