Ejemplo de integración de ecuaciones diferenciales

Problema n° 24 de ecuaciones diferenciales

Enunciado del ejercicio n° 24

y" + 4·y = sen x + sen 2·x

Cálculo de las raíces:

λ² + 4 = 0

λ² = -4

λ = √-4

λ = √i²·4

λ₁ = 2·i

λ₂ = -2·i

La integral homogénea es:

y* = c₁·cos 2·x + c₂·sen 2·x

Cálculo de la integral particular:

y₁ = a·sen x + b·cos x

y₂ = c·x·sen 2·x + d·x·cos 2·x

Sus derivadas son:

y'₁ = a·cos x - b·sen x

y"₁ = -a·sen x - b·cos x

y'₂ = c·sen 2·x + 2·c·x·cos 2·x + d·cos 2·x - 2·d·x·sen 2·x

y"₂ = 4·c·cos 2·x - 4·c·x·sen 2·x - 4·d·sen 2·x - 4·d·x·cos 2·x

Debe verificar:

y"₁ + 4·y₁ = sen x

-a·sen x - b·cos x + 4·(a·sen x + b·cos x) = sen x

-a·sen x - b·cos x + 4·a·sen x + 4·b·cos x = sen x

3·a·sen x + 3·b·cos x = sen x

Luego:

3·a = 1 ⇒ a = ⅓

3·b = 0 ⇒ b = 0

y"₂ + 4·y₂ = sen 2·x

4·c·cos 2·x - 4·c·x·sen 2·x - 4·d·sen 2·x - 4·d·x·cos 2·x + 4·(c·x·sen 2·x + d·x·cos 2·x) = sen 2·x

4·c·cos 2·x - 4·c·x·sen 2·x - 4·d·sen 2·x - 4·d·x·cos 2·x + 4·c·x·sen 2·x + 4·d·x·cos 2·x = sen 2·x

4·c·cos 2·x - 4·d·sen 2·x = sen 2·x

-4·d = 1 ⇒ d = -1/4

4·c = 0 ⇒ c = 0

La integral particular es:

y₁ = (sen x)/3

y₂ = x·(cos 2·x)/4

Luego la integral general es:

y_p = y* + y₁ + y₂ = C₁·cos 2·x + C₂·sen 2·x + (sen x)/3 + x·(cos 2·x)/4

Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

San Martín. Buenos Aires. Argentina.