Ejemplo de integración de ecuaciones diferenciales
Problema n° 27 de ecuaciones diferenciales
Enunciado del ejercicio n° 27
y" + 16·y = sen x·cos x
Cálculo de las raíces:
λ² + 16 = 0
λ² = -16
λ = √-16
λ = √i²·16
λ1 = 4·i
λ2 = -4·i
La integral homogénea es:
y* = C1·cos 4·x + C2·sen 4·x
Cálculo de la integral particular:
y" + 16·y = sen x·cos x = 2·(sen x·cos x)/2 = (sen 2·x)/2
y = a·sen 2·x + b·cos 2·x
Sus derivadas son:
y' = 2·a·cos 2·x - 2·b·sen 2·x
y" = -4·a·sen 2·x - 4·b·cos 2·x
Debe verificar:
y" + 16·y = (sen 2·x)/2
-4·a·sen 2·x - 4·b·cos 2·x + 16·a·sen 2·x + 16·b·cos 2·x = (sen 2·x)/2
12·a·sen 2·x + 12·b·cos 2·x = (sen 2·x)/2
24·a·sen 2·x + 24·b·cos 2·x = sen 2·x
24·a = 1
a = 1/24
24·b = 0
b = 0
La integral particular es:
y = sen x/24
Luego la integral general es:
yp = y* + y = C1·cos 4·x + C2·sen 4·x + (sen x)/24
Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)
San Martín. Buenos Aires. Argentina.
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