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Teorema del límite central. AP01

Contenido: Distribución de la media de un muestreo. Teorema del límite central. Ejemplos. ¿Qué es la probabilidad? Ejemplos.

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Signos utilizados en las fórmulas y cálculos:

  • Signo separador de miles: punto (.)
  • Signo separado decimal: coma (,)
  • Signo de multiplicación: punto medio (·) o ×
  • Signo de división: barra (/) o dos puntos (:)

Distribución de la media de un muestreo

Sea X1, X2, …, Xn una muestra aleatoria de una distribución con valor medio μ y desviación estándar σ. Entonces:

1. E(X) = μx = μ

2. V(X) = σx² = σ²/n y σx = σ/√n

Además, con T0 = X1 + X2 + … + Xn (la muestra total), E(T0) = n·μ, V(T0) = n·σ², y σ·T0 = √n·σ.

N: número de muestras.

n: número de muestras en el subconjunto extraído del conjunto madre de N muestras.

μx = μx

σx² = σ²/n

σx = σ/√n

A medida que aumentan las muestras, la variabilidad disminuye.

Sea X1, X2, …, Xn una muestra aleatoria de una distribución normal con valor medio μ y desviación estándar σ. Entonces, para cualquier n, X está normalmente distribuida (con media μ y desviación estándar σ/√n), como es T0 (con media n·μ desviación estándar n·σ).

Teorema del límite central

Teorema:

Sea X1, X2, …, Xn una muestra aleatoria de una distribución con media μ y varianza σ². Entonces, si n es suficientemente grande, X tiene aproximadamente una distribución normal con μx = μ y σx² = σ²/n, y T0 tiene también aproximadamente una distribución normal con μT0 = n·μ, σ²T0 = n·σ². Cuanto más grande sea el valor de n, mejor será la aproximación.

El Teorema del Límite Central garantiza una distribución normal cuando n es suficientemente grande

Si n > 30, se puede usar el TLC.

Si la distribución madre es normal, la distribución de la media muestral también es normal, independientemente del tamaño.

xNx; σx) ⇒ xNx; σx)

Ejemplo 1:

Si se sabe que la dureza Rockwell de pernos de cierto tipo tiene un valor medio de 50 y desviación estándar de 1,5.

  1. Si la distribución es normal, ¿cuál es la probabilidad de que la dureza muestral media para una muestra aleatoria de 9 pernos sea por lo menos 52?
  2. ¿Cuál es la probabilidad (aproximada) de que la dureza muestral media para una muestra aleatoria de 40 pernos sea al menos 52?

x = 50

σ = 1,5

xN(50; 1,5)

a)

n = 9

x = 52

xN(50; 1,5·√9)

z = (x - μ)/(σ/√n)

 

La probabilidad de que la media muestral sea superior a 52 es:

P(x ≥ 52) = Aplicación del teorema del límite centralP(z ≥ 4) = 0

Con el valor de z obtenido de tablas:

P(x1xx2) = Aplicación del teorema del límite centralP(z1zz2) = φ(z)

 

Tener en cuenta que los valores para:

φ(z) = P(z ≤ z1)

b)

n = 40

Con el valor de z obtenido de tablas:

P(x ≥ 52) = Aplicación del teorema del límite centralP(z ≥ 8,4327) = 0

Bibliografía: "Probabilidad y estadísticas para ingeniería y ciencias". Jay L. Devore. 1.998.

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