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Intervalo de confianza
1) Para la media μ de una población normal:
Li/s = x ± zα/2·σ/√n
Tener en cuenta que una confianza del 95 % significa:
α/2 = 0,95
p = 1 - q
p = x/n
2) Para la media X:
Li/s = x ± t(n - 1)·(1 - α/2)·S/√n
t(α, v) se busca en tabla.
3) Para la varianza S²:
X²(α, v) se busca en tabla.
4) Para el desvío estándar S:
5) Para muestras grandes:
Un intervalo de confianza 100(1 - α)% para la proporción p de una población, de muestras grandes, es:
p ± zα/2√p·q/n
Dónde p = x/n, n tamaño muestral, x es el número observado de éxitos, y q = 1 - p.
Este intervalo se puede emplear siempre que n·p ≥ 5 y n·q ≥ 5.
Ejemplo: El gerente financiero de una gran cadena de tiendas seleccionó una muestra aleatoria de 200 de sus clientes que utilizan tarjetas de crédito, y encontró que 136 habían incurrido en cargos por intereses durante el año anterior debido a falta de pago de sus saldos.
- Calcule un intervalo de confianza de 95% para la verdadera proporción de clientes que utilizan tarjetas de crédito, quienes han incurrido en cargos por intereses durante el año anterior
- Si la longitud deseada del intervalo de 90% es 0,05, ¿qué tamaño muestral es necesario para asegurar esto?
- Calcule el intervalo de confianza de 82% para la verdadera proporción
n = 200
x = 136
a.
Para 1 - α/2 = 0,95
p = x/n
p = 136/200 = 0,68
p = 1 - q ⇒ q = 1 - p
q = 1 - 0,68 = 0,32
Li/s = p ± z(1 - α/2)·√p·q/n
Li/s = 0,68 ± z(0,95)·√0,68·0,32/200
De tabla z(0,95) = 1,645
Li/s = 0,68 ± 1,645·0,33
Li/s = 0,68 ± 0,054
(0,626; 0,734)
b.
n = [z(1 - α/2)²·p·q]/L²
n = 1,645²·0,5·0,5/(0,25²)
Sin sondeo previo tomar p = q = 0,5
n = 10,82 clientes
c.
Para el 82 %
Li/s = p ± z(1 - α/2)·√p·q/n
α = 0,82
1 - α = 0,18
α/2 = 0,09
1 - α/2 = 0,91
De tabla e interpolando z(1 - α/2) = 1,3425
Li/s = 0,68 ± z(0,91)·√0,68·0,32/200
De tabla z(0,91) = 1,645
Li/s = 0,68 ± 1,3425·0,33
Li/s = 0,68 ± 0,0443
(0,6357; 0,7243)
Bibliografía:
"Probabilidad y estadísticas para ingeniería y ciencias". Jay L. Devore. 1.998.
Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)
San Martín. Buenos Aires. Argentina.
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