Intervalo de confianza

1) Para la media μ de una población normal:

L_i/s = x ± z_α/2·σ/√n

Tener en cuenta que una confianza del 95 % significa:

α/2 = 0,95

p = 1 - q

p = x/n

2) Para la media X:

L_i/s = x ± t_{(n - 1)·(1 - α/2)}·S/√n

t(_α,v) se busca en tabla

3) Para la varianza S²:

X²_(α,v) se busca en tabla

4) Para el desvío estándar S:

5) Para muestras grandes:

Ejemplo:

El gerente financiero de una gran cadena de tiendas seleccionó una muestra aleatoria de 200 de sus clientes que utilizan tarjetas de crédito, y encontró que 136 habían incurrido en cargos por intereses durante el año anterior debido a falta de pago de sus saldos.

1. Calcule un intervalo de confianza de 95% para la verdadera proporción de clientes que utilizan tarjetas de crédito, quienes han incurrido en cargos por intereses durante el año anterior.
2. Si la longitud deseada del intervalo de 90% es 0,05, ¿qué tamaño muestral es necesario para asegurar esto?
3. Calcule el intervalo de confianza de 82% para la verdadera proporción.

n = 200

x = 136

a) Para 1 - α/2 = 0,95

p = x/n

p = 136/200 = 0,68

p = 1 - q ⇒ q = 1 - p

q = 1 - 0,68 = 0,32

L_i/s = p ± z_{(1 - α/2)}·√p·q/n

L_i/s = 0,68 ± z_(0,95)·√0,68·0,32/200

De tabla z_(0,95)= 1,645

L_i/s = 0,68 ± 1,645·0,33

L_i/s = 0,68 ± 0,054

(0,626; 0,734)

b)

n = [z_{(1 - α/2)}²·p·q]/L²

n = 1,645²·0,5·0,5/(0,25²)

Sin sondeo previo tomar p = q = 0,5

n = 10,82 clientes

c) Para el 82 %

L_i/s = p ± z_{(1 - α/2)}·√p·q/n

α = 0,82

1 - α = 0,18

α/2 = 0,09

1 - α/2 = 0,91

De tabla e interpolando z_{(1 - α/2)} = 1,3425

L_i/s = 0,68 ± z_(0,91)·√0,68·0,32/200

De tabla z_(0,91)= 1,645

L_i/s = 0,68 ± 1,3425·0,33

L_i/s = 0,68 ± 0,0443

(0,6357; 0,7243)

Bibliografía: "Probabilidad y estadísticas para ingeniería y ciencias". Jay L. Devore. 1.998.