Modelos de examen final. EX01

Contenido: Modelos de examen: final de Algebra. Transformación ortogonal, polinomios, ecuaciones, espacio vectorial.

Modelos de examen

Modelo de Final para Algebra

Problema n° 1) Sean: S2 = {x ∈ ℜ³: x - y + z = 0} S2 = {x ∈ ℜ³: x = y}

Hallar, si es posible, una transformación ortogonal T: ℜ³ → ℜ³ tal que (T(S1))ˆS2

Problema n° 2) Sea P2 el conjunto de polinomios de coeficientes reales de grado menor o igual que 2 y T:P2 → P2

Definida por:

T(a0 + a1t + a2t²) = (a0 + 2·a1 + c·a2) + a1t + (4·a1 + 3·a2)·t²

Hallar los valores de c para los cuales existe una base de P2 tal que la matriz de T en esa base es diagonal

Problema n° 3) Sea V un ℜ espacio vectorial con producto interno. Probar que si x e y son vectores ortogonales de V, entonces para todo α ∈ ℜ

||αx - y|| ≥ ||y||

Es cierto que si α ≥ o entonces ||αx - y|| ≥ ||x||? justificar

Problema n° 4) Sean S y T dos endosmorfismos de un espacio vectorial V tales que ST = TS,

Probar que los subespacios Nu(S) e Im(S) son invariantes por T

Problema n° 5) Resolver la siguiente ecuación

(x - 1)²y·dx + x²·(y + 1)·dy = 0

Modelo de Final para Algebra

Problema n° 1) Sean V y W espacios vectoriales sobre el cuerpo K de dimensiones n y m respectivamente y sea F:V → W una transformación lineal:

  1. Probar que F es inyectiva ⇔ existe: G:W → V tal que G o F = Idv
  2. ¿Qué puede decirse si F es sobreyectiva?

Problema n° 2) Sea L: P2 → ℜ³ definida por

L(1 + x + x²) = (2, 0, 1)  L(1 + x²) = (3, 1, 0)  L(x + x²) = (1, -2, 3)

  1. Hallar la matriz de L respecto de las bases {1, x, x2} y la canónica de R3
  2. ¿Es posible hallar un polinomio P tal que L(P) = (1, 0, 0)? ¿Es único? Justificar
  3. ¿Existen bases B1 de P2 y B2 de R3 tal que la matriz de L en esas bases sea la identidad?
  4. Justificar

Problema n° 3) Sean V un espacio vectorial de dimensión finita y T: V → V una transformación lineal tal que T² = T,

Demostrar que:

  1. Todo vector no nulo de la imagen es autovector
  2. T es diagonalizable
  3. ¿Cuánto vale la tr T? ¿Qué forma puede tener la matriz diagonal de T?

Problema n° 4) Hallar, si es posible, una transformación simétrica T: ℜ³ → ℜ³ tal que:

Im T = {x ∈ ℜ³: x + y - z = 0} y tr T = 4

Problema n° 5) Resolver (e²·y - y·cos (x·y))·dx + (2·x·e²·y - x·cos (x·y) + 2·y)·dy = 0

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Signos utilizados en las fórmulas y cálculos:

  • Signo separador de miles: punto (.)
  • Signo separador decimal: coma (,)
  • Signo de multiplicación: punto medio (·) o × (para producto vectorial)
  • Signo de división: barra (/) o dos puntos (:)

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