Modelos de examen

Modelo de Parcial para Algebra

Problema n° 1) T es una transformación simétrica que verifica:

T ∈ L(ℜ³)

det (T) = -3

Traza (T) = 3

det (T² - 3·T) = 0

Hallar los autovalores de T; justifique cada paso

Problema n° 2) V es un espacio vectorial sobre ℜ de dimensión 2 con un producto interno tal que para un par de vectores v₁ y v₂ se

Verifica:

< v₁ v₂ > = ≠  ||v₁||² = 2  ||v₂||² = α

1. Qué condición suficiente debe cumplir α para que {v₁; v₂} sea base de V
2. Suponiendo que se cumpla (a) ¿Qué condición debe cumplir α para que el producto interno este bien definido?
3. Suponiendo que se cumpla (a) y (b) ¿Cuál es el valor de α? si se sabe que u = v₁ + v₂ genera al complemento ortogonal de S = {x ∈ v/x = t(v₁ + 2·v₂)}

Problema n° 3) Considérese la canónica definida por la ecuación

x² + Y² + 2·X·Y + X - Y - 2 = 0

1. Hallar los puntos de intersección de la curva con los ejes coordenados
2. Reducir la canónica a su forma canónica indicando que tipo de canónica es y ubicarla en un gráfico aproximado donde se distinguen los distintos sistemas de coordenadas

Problema n° 4) La posición de una partícula en función del tiempo esta dada por la solución de la siguiente ecuación con las condiciones iniciales:

X" + 2·X' + X = 0; X(0) = 2; X'(0) = -2

1. Calcule en que instante la partícula pasara por X = 2/e por primera vez
2. Discuta si volverá a pasar por seta posición y cuantas veces

Modelo de Parcial para Algebra

Problema n° 1) V es un espacio vectorial sobre K.h ∈ L(v) se supone conocida y fija.

Sea S = {ƒ ∈ L(v)/ƒ h = h ƒ}

1. Probar que S es subespacio (cualquiera sean V y h)
2. Halla una base de S para el caso V = ℜ²; h(x; y) = (-x + y; x - y)

Problema n° 2) S = {ƒ ∈ L(ℜ³ → ℜ⁴) /π ⊆ Nu(ƒ)} siendo π el plano por el origen que además contiene al (1; 1; 1) y al (1; 1; 0)

1. Probar que S es subespacio
2. Hallar la dimensión de S

Problema n° 3) S = {Polinomios con coeficientes reales ∧ grado ≤ 3} ∪ {}

Encontrar tres subespacios invariantes ante T(w₁; w₂; w₃) tal que S = w₁∑w₂∑w₃

Problema n° 4) Sea λ autovalor de A ∈ K^n×m y V un autovalor asociado a λ

Sea Q(x) = a·x² + b·x + c; a, b, c ∈ K; α ∈ K

Demostrar que Q(α·λ) es autovalor de Q(α·A). ¿Cuál es un autovector asociado a Q(αλ)?

Problema n° 5) El polinomio característico de A es:

det(A - λ·I) = - (λ² - 2·λ·b + b²)·(λ - b - 1)

Si se expresa a A en la base v = {v₁; v₂; v₃} = {(0; 0; 1) (0; 1; 1) (1; 1; 1)}

Se obtiene una matriz de Jordan

Se sabe que v₂ no es autovalor de A

Hallar b de modo que c₂₂ = 1, siendo C la matriz A expresa en la base canónica.

Modelo de Parcial para Algebra

Problema n° 1) T es una transformación simétrica que verifica:

T ∈ L(ℜ³)

det (T) = -3

Traza (T) = 3

det (T² - 3·T) = 0

Hallar los autovalores de T; justifique cada paso

Problema n° 2) V es un espacio vectorial sobre ℜ de dimensión 2 con un producto interno tal que para un par de vectores v₁ y v₂ se verifica:

<v₁ v₂> = ≠  ||v₁||² = 2  ||v₂||² = α

1. ¿Qué condición suficiente debe cumplir α para que {v₁; v₂} sea base de V?
2. Suponiendo que se cumpla (a) ¿Qué condición debe cumplir α para que el producto interno este bien definido?
3. Suponiendo que se cumpla (a) y (b) ¿Cuál es el valor de α? si se sabe que u = v₁ + v₂ genera al complemento ortogonal de S = {x ∈ v/x = t(v₁ + 2·v₂)}

Problema n° 3) Considérese la canónica definida por la ecuación

x² + Y² + 2·X·Y + X - Y - 2 = 0

1. Hallar los puntos de intersección de la curva con los ejes coordenados
2. Reducir la canónica a su forma canónica indicando que tipo de canónica es y ubicarla en un gráfico aproximado donde se distinguen los distintos sistemas de coordenadas

Problema n° 4) La posición de una partícula en función del tiempo esta dada por la solución de la siguiente ecuación con las condiciones iniciales:

X" + 2·X' + X = 0; X(0) = 2; X'(0) = -2

1. Calcule en que instante la partícula pasara por X = 2/e por primera vez
2. Discuta si volverá a pasar por zeta posición y cuantas veces

Modelo de Parcial para Algebra

Problema n° 1) Dada la matriz S hallar:

1. Autovalores
2. Subespacios propios asociados
3. Sin calcularlo indicar, con los datos anteriores, para la aplicación lineal asociada a la matriz S la dimensión de la imagen y del núcleo, justificando la respuesta

Problema n° 2) Resolver el sistema de ecuaciones diferenciales lineales X' = S·X + B, siendo B^t = (e^t, 0, 0)

Problema n° 3) Determinar, justificando cada respuesta.

1. La ecuación canónica
2. El tipo de cuádrica
3. Ecuación de uno de los ejes de simetría de la cuádrica

Siendo la ecuación de la misma la siguiente:

X^t S·X + 2·A·X + a = 0, con A = (1, 2, 0), a = 2.

Problema n° 4) Analizar la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones:

1. Si dos autovectores de un operador simétrico son linealmente independientes, entonces cumplen con el teorema de Pitágoras
2. Si dos autovectores de un operador cumplen con el teorema de Pitágoras, entonces el operador es hermítico

Problema n° 5) Dadas las funciones y₁ = e^t, y₂ = e^4·t

Hallar la ecuación diferencial lineal homogénea completa tal que la primera función sea solución de la homogénea correspondiente, y la segunda de la completa.

Modelo de Parcial para Algebra

Problema n° 1) ¿Cuántos números que sean divisibles por 12 pueden obtenerse permutando los dígitos del número 2.233.344.777.777?

Problema n° 2) Probar que existen infinitos a, b ∈ Z tales que a + b = 100 y (a, b) = 5.

Problema n° 3) Sea A un subconjunto de Z tal que la relación entre elementos de Z definida por:

x ˜ y ⇔ x - y ∈ A

Es de equivalencia.

Probar que:

1. 0 ∈ A
2. Si x ∈ A entonces -x ∈ A
3. Si x, y ∈ A entonces x - y ∈ A
4. Si x, y ∈ A entonces x + y ∈ A

Problema n° 4) Hallar todos los pares (k, q) ∈ Z·Z para los cuales la ecuación

k·x + 10·y = 2·q

admite solución. ¿Para cuáles de estos pares la solución es única?

Problema n° 5) Hallar todos los a ∈ Z tales que (7·a² + 1)/(3·a - 1) ∈ Z.

Problema n° 6) Probar que , ∀ n ≥ 4

Justifique todas las respuestas.

Modelo de Parcial para Algebra

Problema n° 1) Sea X el conjunto de todos los subconjuntos finitos de N. Se define en X la siguiente relación:

A ≈ B ⇔ min (A) = min (B) ∧ máximo (A) = máximo (B).

1. Probar que ≈ es una relación de equivalencia en X
2. Si T es un elemento de X tal que min (T) = 10 y máximo (T) = 30, determinar el número de elementos de la clase de equivalencia de T

Problema n° 2) ¿De cuántas maneras pueden distribuirse 20 bolitas blancas y 3 bolitas negras en 4 cajas distintas, si en la cuarta caja puede haber a lo sumo una bolita negra?

Problema n° 3) Sea (a_n) la sucesión definida en la siguiente forma:

a₀ = -1 y a_n = 11ⁿ + a_{n - 1} ∀ n ∈ N

Determinar y probar una fórmula cerrada para el término general de la sucesión.

Problema n° 4) Hallar una solución (x₀, y₀) de la ecuación diofántica 12·x - 7·y = -9 de manera que |x₀| - |y₀| sea mínimo.

Problema n° 5) Para todo número natural k, resolver la ecuación 6·k·x = 20·(10·k).

Problema n° 6) Determinar los pares (a, b) de números naturales coprimos tales que (15·a + 10·b)/(2·a + b) ∈ N.

• Nota: Justificar todas sus respuestas y afirmaciones.

Modelo de Parcial para Algebra

Problema n° 1) Sea X un conjunto de n elementos y sean A y B subconjuntos disjuntos de X, de r y donde s elementos respectivamente. Determinar el número de subconjuntos T de X tales que A ∪ T = B ∪ T.

Problema n° 2) Sea ƒ:N → N la función definida por:

Analizar la inyectividad de ƒ y determinar su imagen.

Problema n° 3) Sea (a_n) una sucesión tal que a₀ = -1 y a_n = 2·a_{n - 1} + 2ⁿ ∀ n   0. Hallar, probando su validez, una fórmula para el término general de la sucesión.

Problema n° 4) Se encuentran reunidos 7 matrimonios. Si se eligen 4 personas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que haya al menos una pareja de cónyuges entre las 4?

Problema n° 5) Sea A un conjunto de 37 números enteros. Probar que existen dos elementos de A tales que su suma o diferencia es múltiplo de 70

Problema n° 6) Caracterizar las soluciones (x, y) de la ecuación diofántica 42·x - 114·y = 12 tales que x es coprimo con y

• Nota: Justifique debidamente todas sus respuestas.

Modelo de Parcial para Algebra

Problema n° 1) Dada la función ƒ(x) = ln (2 - x²):

1. Determine su dominio, su imagen, conjunto de ceros, conjunto de positividad y conjunto de negatividad
2. ¿Es ƒ inyectiva? ¿Es sobreyectiva (si tomamos ℜ como su codominio)? ¿Es biyectiva? Justifique sus respuestas

Problema n° 2) Determine los valores a ∈ ℜ, b ∈ ℜ para que se verifiquen simultáneamente las siguientes condiciones:

a.

  = 2

b.

  {1 + sen [a·(x - 2)]}^{b/(x - 2)} = e⁴

Problema n° 3) Estudie la continuidad en ℜ de la siguiente función:

ƒ (x) =	x²·cos [(x + 2)/(x² - 4·x)]	Si	x < 0
	x³/(2·x - 1)		0 ≤ x ≤ 1
			x > 1

Problema n° 4)

1. Determine gráficamente los parámetros de la función exponencial ƒ(x) = k·a² que pasa por los puntos (1; 279) y (8; 70)
2. Determine gráficamente ƒ(6). Determine gráficamente x tal que ƒ(x) = 57

Respuestas

Problema n° 1)

a.

Dom(ƒ) = √2 > x > -√2

C₀ = {x ∈ Dom(ƒ)/ƒ(x) = 0} = {1, -1}

C₊ = {x ∈ Dom(ƒ)/ƒ(x) > 0} = {-1, 1}

C₀ = {x ∈ Dom(ƒ)/ƒ(x) < 0} = (-√2, -1) ∪ (1, √2)

b.

No es inyectiva ƒ(-1) = ƒ(1) = 0

No es sobreyectiva Im(ƒ) ≠ Codominio

Por lo tanto no es biyectiva.

Problema n° 2)

a.

a = 4

b = 1

Problema n° 3) Si x < 0, x²·cos [(x + 2)/(x² - 4·x)] es contínua ∀ x ∈ ℜ ≈ {4} y va desde (-∞; 0)

Si x > 1, es contínua ∀ x ∈ ℜ ≈ {1,3} y va desde (1, 3) ∪ (3, +∞)

Si 0 ≤ x ≤ 1, x³/(2·x - 1) es contínua ∀ x ∈ ℜ ≈ {½} y va desde [0, ½) ∪ (½,1]

Si x = 0, es contínua.

Si x = 1, es discontinua.