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Modelos de examen
Modelo de Parcial para Algebra
Problema n° 1) T es una transformación simétrica que verifica:
T ∈ L(ℜ³)
det (T) = -3
Traza (T) = 3
det (T² - 3·T) = 0
Hallar los autovalores de T; justifique cada paso
Problema n° 2) V es un espacio vectorial sobre ℜ de dimensión 2 con un producto interno tal que para un par de vectores v1 y v2 se
Verifica:
< v1 v2 > = ≠ ||v1||² = 2 ||v2||² = α
- Qué condición suficiente debe cumplir α para que {v1; v2} sea base de V
- Suponiendo que se cumpla (a) ¿Qué condición debe cumplir α para que el producto interno este bien definido?
- Suponiendo que se cumpla (a) y (b) ¿Cuál es el valor de α? si se sabe que u = v1 + v2 genera al complemento ortogonal de S = {x ∈ v/x = t(v1 + 2·v2)}
Problema n° 3) Considérese la canónica definida por la ecuación
x² + Y² + 2·X·Y + X - Y - 2 = 0
- Hallar los puntos de intersección de la curva con los ejes coordenados
- Reducir la canónica a su forma canónica indicando que tipo de canónica es y ubicarla en un gráfico aproximado donde se distinguen los distintos sistemas de coordenadas
Problema n° 4) La posición de una partícula en función del tiempo esta dada por la solución de la siguiente ecuación con las condiciones iniciales:
X" + 2·X' + X = 0; X(0) = 2; X'(0) = -2
- Calcule en que instante la partícula pasara por X = 2/e por primera vez
- Discuta si volverá a pasar por seta posición y cuantas veces
Modelo de Parcial para Algebra
Problema n° 1) V es un espacio vectorial sobre K.h ∈ L(v) se supone conocida y fija.
Sea S = {ƒ ∈ L(v)/ƒ h = h ƒ}
- Probar que S es subespacio (cualquiera sean V y h)
- Halla una base de S para el caso V = ℜ²; h(x; y) = (-x + y; x - y)
Problema n° 2) S = {ƒ ∈ L(ℜ³ → ℜ4) /π ⊆ Nu(ƒ)} siendo π el plano por el origen que además contiene al (1; 1; 1) y al (1; 1; 0)
- Probar que S es subespacio
- Hallar la dimensión de S
Problema n° 3) S = {Polinomios con coeficientes reales ∧ grado ≤ 3} ∪ {}
T ∈ L(s) con: | T(1) = 3 + 2·x T(x) = x T(x²) = 2·x² - 4·x³ T(x³) = x² + 2·x³ |
Encontrar tres subespacios invariantes ante T(w1; w2; w3) tal que S = w1∑w2∑w3
Problema n° 4) Sea λ autovalor de A ∈ Kn×m y V un autovalor asociado a λ
Sea Q(x) = a·x² + b·x + c; a, b, c ∈ K; α ∈ K
Demostrar que Q(α·λ) es autovalor de Q(α·A). ¿Cuál es un autovector asociado a Q(αλ)?
Problema n° 5) El polinomio característico de A es:
det(A - λ·I) = - (λ² - 2·λ·b + b²)·(λ - b - 1)
Si se expresa a A en la base v = {v1; v2; v3} = {(0; 0; 1) (0; 1; 1) (1; 1; 1)}
Se obtiene una matriz de Jordan
Se sabe que v2 no es autovalor de A
Hallar b de modo que c22 = 1, siendo C la matriz A expresa en la base canónica.
Modelo de Parcial para Algebra
Problema n° 1) T es una transformación simétrica que verifica:
T ∈ L(ℜ³)
det (T) = -3
Traza (T) = 3
det (T² - 3·T) = 0
Hallar los autovalores de T; justifique cada paso
Problema n° 2) V es un espacio vectorial sobre ℜ de dimensión 2 con un producto interno tal que para un par de vectores v1 y v2 se verifica:
<v1 v2> = ≠ ||v1||² = 2 ||v2||² = α
- ¿Qué condición suficiente debe cumplir α para que {v1; v2} sea base de V?
- Suponiendo que se cumpla (a) ¿Qué condición debe cumplir α para que el producto interno este bien definido?
- Suponiendo que se cumpla (a) y (b) ¿Cuál es el valor de α? si se sabe que u = v1 + v2 genera al complemento ortogonal de S = {x ∈ v/x = t(v1 + 2·v2)}
Problema n° 3) Considérese la canónica definida por la ecuación
x² + Y² + 2·X·Y + X - Y - 2 = 0
- Hallar los puntos de intersección de la curva con los ejes coordenados
- Reducir la canónica a su forma canónica indicando que tipo de canónica es y ubicarla en un gráfico aproximado donde se distinguen los distintos sistemas de coordenadas
Problema n° 4) La posición de una partícula en función del tiempo esta dada por la solución de la siguiente ecuación con las condiciones iniciales:
X" + 2·X' + X = 0; X(0) = 2; X'(0) = -2
- Calcule en que instante la partícula pasara por X = 2/e por primera vez
- Discuta si volverá a pasar por zeta posición y cuantas veces
Modelo de Parcial para Algebra
Problema n° 1) Dada la matriz S hallar:
- Autovalores
- Subespacios propios asociados
- Sin calcularlo indicar, con los datos anteriores, para la aplicación lineal asociada a la matriz S la dimensión de la imagen y del núcleo, justificando la respuesta
Problema n° 2) Resolver el sistema de ecuaciones diferenciales lineales X' = S·X + B, siendo Bt = (et, 0, 0)
Problema n° 3) Determinar, justificando cada respuesta.
- La ecuación canónica
- El tipo de cuádrica
- Ecuación de uno de los ejes de simetría de la cuádrica
Siendo la ecuación de la misma la siguiente:
Xt S·X + 2·A·X + a = 0, con A = (1, 2, 0), a = 2.
Problema n° 4) Analizar la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones:
- Si dos autovectores de un operador simétrico son linealmente independientes, entonces cumplen con el teorema de Pitágoras
- Si dos autovectores de un operador cumplen con el teorema de Pitágoras, entonces el operador es hermítico
Problema n° 5) Dadas las funciones y1 = et, y2 = e4·t
Hallar la ecuación diferencial lineal homogénea completa tal que la primera función sea solución de la homogénea correspondiente, y la segunda de la completa.
Modelo de Parcial para Algebra
Problema n° 1) ¿Cuántos números que sean divisibles por 12 pueden obtenerse permutando los dígitos del número 2.233.344.777.777?
Problema n° 2) Probar que existen infinitos a, b ∈ Z tales que a + b = 100 y (a, b) = 5.
Problema n° 3) Sea A un subconjunto de Z tal que la relación entre elementos de Z definida por:
x ˜ y ⇔ x - y ∈ A
Es de equivalencia.
Probar que:
- 0 ∈ A
- Si x ∈ A entonces -x ∈ A
- Si x, y ∈ A entonces x - y ∈ A
- Si x, y ∈ A entonces x + y ∈ A
Problema n° 4) Hallar todos los pares (k, q) ∈ Z·Z para los cuales la ecuación
k·x + 10·y = 2·q
admite solución. ¿Para cuáles de estos pares la solución es única?
Problema n° 5) Hallar todos los a ∈ Z tales que (7·a² + 1)/(3·a - 1) ∈ Z.
Problema n° 6) Probar que , ∀ n ≥ 4
Justifique todas las respuestas.
Modelo de Parcial para Algebra
Problema n° 1) Sea X el conjunto de todos los subconjuntos finitos de N. Se define en X la siguiente relación:
A ≈ B ⇔ min (A) = min (B) ∧ máximo (A) = máximo (B).
- Probar que ≈ es una relación de equivalencia en X
- Si T es un elemento de X tal que min (T) = 10 y máximo (T) = 30, determinar el número de elementos de la clase de equivalencia de T
Problema n° 2) ¿De cuántas maneras pueden distribuirse 20 bolitas blancas y 3 bolitas negras en 4 cajas distintas, si en la cuarta caja puede haber a lo sumo una bolita negra?
Problema n° 3) Sea (an) la sucesión definida en la siguiente forma:
a0 = -1 y an = 11n + an - 1 ∀ n ∈ N
Determinar y probar una fórmula cerrada para el término general de la sucesión.
Problema n° 4) Hallar una solución (x0, y0) de la ecuación diofántica 12·x - 7·y = -9 de manera que |x0| - |y0| sea mínimo.
Problema n° 5) Para todo número natural k, resolver la ecuación 6·k·x = 20·(10·k).
Problema n° 6) Determinar los pares (a, b) de números naturales coprimos tales que (15·a + 10·b)/(2·a + b) ∈ N.
• Nota: Justificar todas sus respuestas y afirmaciones.
Modelo de Parcial para Algebra
Problema n° 1) Sea X un conjunto de n elementos y sean A y B subconjuntos disjuntos de X, de r y donde s elementos respectivamente. Determinar el número de subconjuntos T de X tales que A ∪ T = B ∪ T.
Problema n° 2) Sea ƒ:N → N la función definida por:
ƒ(x) = | 2·x | Si x es | par |
(x + 6)/2 | impar |
Analizar la inyectividad de ƒ y determinar su imagen.
Problema n° 3) Sea (an) una sucesión tal que a0 = -1 y an = 2·an - 1 + 2n ∀ n 0. Hallar, probando su validez, una fórmula para el término general de la sucesión.
Problema n° 4) Se encuentran reunidos 7 matrimonios. Si se eligen 4 personas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que haya al menos una pareja de cónyuges entre las 4?
Problema n° 5) Sea A un conjunto de 37 números enteros. Probar que existen dos elementos de A tales que su suma o diferencia es múltiplo de 70
Problema n° 6) Caracterizar las soluciones (x, y) de la ecuación diofántica 42·x - 114·y = 12 tales que x es coprimo con y
• Nota: Justifique debidamente todas sus respuestas.
Modelo de Parcial para Algebra
Problema n° 1) Dada la función ƒ(x) = ln (2 - x²):
- Determine su dominio, su imagen, conjunto de ceros, conjunto de positividad y conjunto de negatividad
- ¿Es ƒ inyectiva? ¿Es sobreyectiva (si tomamos ℜ como su codominio)? ¿Es biyectiva? Justifique sus respuestas
Problema n° 2) Determine los valores a ∈ ℜ, b ∈ ℜ para que se verifiquen simultáneamente las siguientes condiciones:
a.
= 2
b.
{1 + sen [a·(x - 2)]}b/(x - 2) = e4
Problema n° 3) Estudie la continuidad en ℜ de la siguiente función:
ƒ (x) = | x²·cos [(x + 2)/(x² - 4·x)] | Si | x < 0 |
x³/(2·x - 1) | 0 ≤ x ≤ 1 | ||
![]() | x > 1 |
Problema n° 4)
- Determine gráficamente los parámetros de la función exponencial ƒ(x) = k·a² que pasa por los puntos (1; 279) y (8; 70)
- Determine gráficamente ƒ(6). Determine gráficamente x tal que ƒ(x) = 57
Respuestas
Problema n° 1)
a.
Dom(ƒ) = √2 > x > -√2
C0 = {x ∈ Dom(ƒ)/ƒ(x) = 0} = {1, -1}
C+ = {x ∈ Dom(ƒ)/ƒ(x) > 0} = {-1, 1}
C0 = {x ∈ Dom(ƒ)/ƒ(x) < 0} = (-√2, -1) ∪ (1, √2)
b.
No es inyectiva ƒ(-1) = ƒ(1) = 0
No es sobreyectiva Im(ƒ) ≠ Codominio
Por lo tanto no es biyectiva.
Problema n° 2)
a.
a = 4
b = 1
Problema n° 3) Si x < 0, x²·cos [(x + 2)/(x² - 4·x)] es contínua ∀ x ∈ ℜ ≈ {4} y va desde (-∞; 0)
Si x > 1, es contínua ∀ x ∈ ℜ ≈ {1,3} y va desde (1, 3) ∪ (3, +∞)
Si 0 ≤ x ≤ 1, x³/(2·x - 1) es contínua ∀ x ∈ ℜ ≈ {½} y va desde [0, ½) ∪ (½,1]
Si x = 0, es contínua.
Si x = 1, es discontinua.
Autor: Sin datos
Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)