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Modelos de examen

Modelo de 1° Parcial para Análisis Matemático II

Problema n° 1

Dada la función f:ℜ → ℜ; f(x) = 3·x³ + 2·x determinar todos los puntos de la gráfica de f en los que la recta tangente es paralela a la cuerda que une los puntos (-2, f(-2)) y (1,f(1)).

Problema n° 2

Calcular el límite de la siguiente sucesión:

xn =

ln (e3·n - 1)
an

Donde se sabe que:

lim
n → ∞
an= 3
n

Problema n° 3

Calcular la siguiente integral con un error menor que 0,001:

1x4
1 + (½·x)4
·dx
 
0

Problema n° 4

Determinar todos los x ⊂ ℜ para los que la siguiente serie resulta convergente:



n = 1
in 2·n·xn
n

Problema n° 5

Calcular los siguientes límites:

a)lim
x → 0
y → 0
ex·(y + 1) - x - 1
|2·x - y|
b)lim
x → 0
y → 0
x·y² + y³
3·x² + y²

Problema n° 6

Justifique la respuesta de cada ejercicio.

Ej 1Ej 2Ej 3Ej 4Ej 5
a b

Problema n° 7

Analizar la convergencia:

+∞x² + 1
x + x4
·dx
 
0
+∞x + 1
x + x³
·dx
 
0

Modelo de 1° Parcial para Análisis Matemático II

Problema n° 1

Decida cual de las siguientes afirmaciones es verdadera y cual falsa. (La verdadera pruébela y para la falsa, dé un contraejemplo).

Afirmación 1) Si f:ℜ → ℜ es una función contínua y acotada entonces existe por lo menos un punto x0 ⊂ ℜ tal que f(x0) = x0

Afirmación 2) Si f:ℜ → ℜ es una función contínua y acotada entonces existe una cantidad finita de puntos x1, x2, …, xn tales que f(x1) = x1

Problema n° 2

Hallar todos los números reales p > 0 tales que la siguiente integral resulte convergente.

+∞1
x·lnp 3·x
·dx
 
1

Problema n° 3

Calcular el valor de la siguiente integral con error menor que 10³

1e3·x - 1
x
·dx
 
0

Problema n° 4

Hallar todos los x ⊂ ℜ tal que la siguiente serie resulte convergente.



n = 1
[sen (1/n)]²·(2·xn)

Problema n° 5

Sea f(x) = x·cos x + sen x/3.

a) Hallar la serie de Taylor centrada en 0 de la función f(x)

b) Hallar todos los x ⊂ ℜ tal que la serie hallada en (i) coincida con f(x)

c) Hallar fn(0), n ⊂ N

Problema n° 6

Hallar todos los números reales a > 0 tal que la siguiente función resulte contínua en ℜ²

f(x, y) = xa·ySi(x, y) ≠ (0, 0)
x4 + y²
0Si(x, y) = (0, 0)

Modelo de 1° Parcial para Análisis Matemático II

Problema n° 1

Calcular el límite de la siguiente sucesión.

an =n(n + 1)·(n + 2)·(n + 3)…(2·n - 1)·2·n
n

Problema n° 2

Analizar la convergencia de la siguiente integral impropia.

+∞x
1 + x5
·dx
 
0

Problema n° 3

Hallar todos los x ⊂ ℜ para los que la siguiente serie resulta convergente.



n = 1
xn
n + n

Problema n° 4

Calcular el valor de la siguiente integral con error < 10-5

1e-½·x²·dx
 
0

Problema n° 5

Dada la función f:D ⊂ ℜ² → ℜ definida por:

f(x, y) = x·y·(sen 1/x)·(sen 1/y)

a) Calcular D

b) Redefinirla, si es posible, de modo tal que resulte contínua en todo ℜ²

Modelo de 1° Parcial para Análisis Matemático II

Problema n° 1

Calcular el siguiente límite:

lim
n → ∞
(1 + sen4)cotg 1/n
n

Problema n° 2

Analizar la convergencia de la siguiente integral impropia:

+∞1
x·(1 + x)
·dx
 
0

Problema n° 3

Calcular el valor de la siguiente integral con error menor que 10-3

-1e-x - 1 + x
·dx
 
0

Problema n° 4

Hallar todos los x ⊂ ℜ tal que la siguiente serie resulte convergente.



n = 0
(-3)n·xn
n² + 3

Problema n° 5

Hallar todos los números reales a > 0 tal que la siguiente función resulte contínua en ℜ²

f(x, y) =|x|a·y/(x6 + y4)Si(x, y) ≠ (0, 0)
0(x, y) = (0, 0)

Problema n° 6

Justifique todo.

Modelo de 1° Parcial para Análisis Matemático II

Problema n° 1

Probar que:

1 + x/2 - x²/8 < 1 + x < 1 + x/2 para x > 0.

Problema n° 2

Calcular el radio de convergencia y estudiar el comportamiento en el borde de la región de convergencia de la siguiente serie de potencias:



n = 2
xn
n·(ln n)³

Problema n° 3

Probar que:



n = 2
[5n + 1+(-1)n]
32·n + 3n·5n

Es convergente y calcular su suma con error menor que 10-3

Problema n° 4

Sea f:ℜ → ℜ una función que verifica que f(0) = -9 y f'(x) ≥ (x² - 9), ∀ x ⊂ ℜ. Probar que existe t > 0 tal que f(t) = 0.

Problema n° 5

Analizar la convergencia de:

31
x - 2 + sen² (x - 2)
·dx
 
2

Problema n° 6

Justifique la respuesta de cada ejercicio

Autor: Sin datos

Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

Serie de Taylor, análisis de convergencia.

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