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Modelos de examen parcial. EX03

Contenido: Modelos de examen: 1° parcial de Análisis Matemático II.

Modelos de examen

Modelo de 1° Parcial para Análisis Matemático II

Problema n° 1) Dada la función ƒ:ℜ → ℜ; ƒ(x) = 3·x³ + 2·x determinar todos los puntos de la gráfica de ƒ en los que la recta tangente es paralela a la cuerda que une los puntos (-2, ƒ(-2)) y (1,ƒ(1)).

Problema n° 2) Calcular el límite de la siguiente sucesión xn = [ln (e3·n - 1)]/an donde se sabe que Resolver límite

Problema n° 3) Calcular la siguiente integral con un error menor que 0,001:

Problema n° 4) Determinar todos los x ⊂ ℜ para los que la siguiente serie resulta convergente:

Problema n° 5) Calcular los siguientes límites:

  1. Resolver límite
  2. Resolver límite

Problema n° 6) Justifique la respuesta de cada ejercicio.

Ej 1

Ej 2

Ej 3

Ej 4

Ej 5

       

a b

Problema n° 7) Analizar la convergencia:

.

 

Modelo de 1° Parcial para Análisis Matemático II

Problema n° 1) Decida cual de las siguientes afirmaciones es verdadera y cual falsa. (La verdadera pruébela y para la falsa, dé un contraejemplo).

Afirmación 1) Si ƒ:ℜ → ℜ es una función contínua y acotada entonces existe por lo menos un punto x0 ⊂ ℜ tal que ƒ(x0) = x0

Afirmación 2) Si ƒ:ℜ → ℜ es una función contínua y acotada entonces existe una cantidad finita de puntos x1, x2, …, xn tales que ƒ(x1) = x1

Problema n° 2) Hallar todos los números reales p   0 tales que la siguiente integral resulte convergente.

Problema n° 3) Calcular el valor de la siguiente integral con error menor que 10³

Problema n° 4) Hallar todos los x ⊂ ℜ tal que la siguiente serie resulte convergente.

Problema n° 5) Sea ƒ(x) = x·cos x + sen x/3.

  1. Hallar la serie de Taylor centrada en 0 de la función ƒ(x)
  2. Hallar todos los x ⊂ ℜ tal que la serie hallada en (i) coincida con ƒ(x)
  3. Hallar ƒn(0), nN

Problema n° 6) Hallar todos los números reales a   0 tal que la siguiente función resulte contínua en ℜ²

ƒ(x, y) =

xa·y/(x4 + y²)

Si

(x, y) ≠ (0, 0)

0

(x, y) = (0, 0)

 

Modelo de 1° Parcial para Análisis Matemático II

Problema n° 1) Calcular el límite de la siguiente sucesión.

Problema n° 2) Analizar la convergencia de la siguiente integral impropia.

Problema n° 3) Hallar todos los x ⊂ ℜ para los que la siguiente serie resulta convergente.

Problema n° 4) Calcular el valor de la siguiente integral con error   10-5

Problema n° 5) Dada la función ƒ:D ⊂ ℜ² → ℜ definida por:

ƒ(x, y) = x·y·(sen 1/x)·(sen 1y)

  1. Calcular D
  2. Redefinirla, si es posible, de modo tal que resulte contínua en todo ℜ²

 

Modelo de 1° Parcial para Análisis Matemático II

Problema n° 1) Calcular el siguiente límite:

Problema n° 2) Analizar la convergencia de la siguiente integral impropia:

Problema n° 3) Calcular el valor de la siguiente integral con error menor que 10-3

Problema n° 4) Hallar todos los x ⊂ ℜ tal que la siguiente serie resulte convergente.

Problema n° 5) Hallar todos los números reales a   0 tal que la siguiente función resulte contínua en ℜ²

ƒ(x, y) =

|x|a·y/(x6 + y4)

Si

(x, y) ≠ (0, 0)

0

(x, y) = (0, 0)

Problema n° 6) Justifique todo.

 

Modelo de 1° Parcial para Análisis Matemático II

Problema n° 1) Probar que: 1 + x/2 - x²/8   1 + x   1 + x/2 para x   0.

Problema n° 2) Calcular el radio de convergencia y estudiar el comportamiento en el borde de la región de convergencia de la siguiente serie de potencias:

Problema n° 3) Probar que

Es convergente y calcular su suma con error menor que 10-3

Problema n° 4) Sea ƒ:ℜ → ℜ una función que verifica que ƒ(0) = -9 y ƒ'(x) ≥ (x² - 9), ∀ x ⊂ ℜ. Probar que existe t   0 tal que ƒ(t) = 0.

Problema n° 5) Analizar la convergencia de:

Problema n° 6) Justifique la respuesta de cada ejercicio

Signos utilizados en las fórmulas y cálculos:

  • Signo separador de miles: punto (.)
  • Signo separado decimal: coma (,)
  • Signo de multiplicación: punto medio (·) o ×
  • Signo de división: barra (/) o dos puntos (:)

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