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Modelos de examen parcial. EX04

Contenido: Modelos de examen: 2° parcial de Análisis Matemático II.

Modelos de examen

Modelo de 2° Parcial para Análisis Matemático II

Problema n° 1) Sea ƒ(x, y) = x½·y½

  1. Usando definición de derivada direccional mostrar que ∂ƒ/∂x (0, 0) = ∂ƒ/∂y (0, 0) = 0
    y que ± e1; ± e2 son las únicas direcciones para las cuales existe derivada direccional en el (0, 0)
  2. ¿Es contínua en (0, 0)?
  3. Es diferenciable en (0, 0)

Problema n° 2) sea g:ℜ² → ℜ/g(u, v) = v·u² + v² y f:ℜ² → ℜ²/f(x, y) = (ƒ1(x, y), ƒ2(x, y)) con u = ƒ1(x, y) = x² + 2·y; v = ƒ2(x, y) definida implícitamente por x³ + v³ - 3·y²·v = 0. Calcular (g o ƒ)(1, 0).

Problema n° 3) Hallar los puntos de la superficie donde el plano tangente es perpendicular a la recta.

x - 3·y + 2 = 0
x + 3·z = 5

Problema n° 4) Encontrar extremos de Z = x4 + y4 - 2·x² + 4·x·y - 2·y²

Problema n° 5) Sea ƒ:ℜ² → ℜ diferenciable en (a, b)/Q'x(a, b) = ƒ'y(a, b) = 0

Demostrar que

Modelo de 2° Parcial para Análisis Matemático II

Problema n° 1) Sean S1 y S2 superficies abiertas regulares y simples incluidas en un abierto de ℜ³, ambas con la misma curva frontera C. Si F = ∇ƒ. ∇g con ƒ:ℜ³ → ℜ y g:ℜ³ → ℜ funciones de clase C¹.

  1. Mostrar que F es solenoidal
  2. Si el flujo de F a través de S1 es 3·π, calcular S2 F·ǔ·ds

Problema n° 2) Sea C cualquier camino que une un punto P1 = (x1, y1, z1) de la esfera x² + y² + z² = a² con un punto P2 = (x2, y2, z2) de la esfera de radio b. Mostrar que si F = 5·||r³||·r, donde r = (x, y, z) → F·dx = b5 - a5

Problema n° 3) Calcular la masa total de la superficie semiesférica Z = (r² - x² - y²)½ si la densidad está dada por δ (x, y, z) = x² + y²

4)

  1. Calcular ΦC y·dx + (x + y)·dy siendo C la frontera del recinto D = {(x, y)/y - x = 0; y = 0; y = 1; y² = x - 1}
  2. Verificar el teorema de Green

Problema n° 5) Sea φ: ℜ³ → ℜ/φ ⊂ C¹. Calcular S ∇φ·ǔ·ds siendo φ (x, y, z) = x·y·z y S la superficie limitada por el cilindro x² + y² = 16 en el primer octante y para 0 ≤ z ≤ 5.

Modelo de 2° Parcial para Análisis Matemático II

Problema n° 1) Sea V un volumen limitado por la superficie S. Probar estableciendo condiciones apropiadas para el campo escalar Ø y el campo vectorial G la igualdad

V ∇Φ·∇x·g·dv = S g·x·∇Φ·U·dS

Problema n° 2) Sea.

F(x, y, z) = [-y/(x² + y²); x/(x² + y²); 0]

  1. Demostrar que F es irrotacional
  2. Demostrar que F es conservativo

Problema n° 3) Calcular

  1. Resolver integral a largo de la curva x2/3 + y2/3 = 2
  2. A lo largo de la elipse x²/4 + y²/9 = 1

Problema n° 4) Calcular el área de la porción de cono x² + y² = 3·z², interior al cilindro x² + y² = 4·y con z ≥ 0

Problema n° 5) Sea la curva C: X(t) = (2·cos t, 2·sen t, 2·sen t) con t ⊂ [0,2·π] y FC¹/rot F = (z, 0, 1 - x).

  1. Exprese C como intersección de dos superficies
  2. Calcule la circulación de F a lo largo de C

Signos utilizados en las fórmulas y cálculos:

  • Signo separador de miles: punto (.)
  • Signo separado decimal: coma (,)
  • Signo de multiplicación: punto medio (·) o ×
  • Signo de división: barra (/) o dos puntos (:)

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