Modelos de examen parcial de Análisis Matemático II
Modelo de 2° Parcial para Análisis Matemático II
Problema nº 1
Sea f(x, y) = x½·y½
a) Usando definición de derivada direccional mostrar que ∂f/∂x (0, 0) = ∂f/∂y (0, 0) = 0
y que ± ē₁; ± ē₂ son las únicas direcciones para las cuales existe derivada direccional en el (0, 0)
b) ¿Es contínua en (0, 0)?
c) Es diferenciable en (0, 0)
Problema nº 2
sea g:ℜ² ⟶ ℜ/g(u, v) = v·u² + v² y 
²/
= (f₁(x, y), f₂(x, y)) con u = f₁(x, y) = x² + 2·y; v = f₂(x, y) definida implícitamente por x³ + v³ - 3·y²·v = 0. Calcular (g o f)(1, 0).
Problema nº 3
Hallar los puntos de la superficie donde el plano tangente es perpendicular a la recta.
Problema nº 4
Encontrar extremos de Z = x⁴ + y⁴ - 2·x² + 4·x·y - 2·y²
Problema nº 5
Sea f:ℜ² ⟶ ℜ diferenciable en (a, b)/Q'x(a, b) = f'y(a, b) = 0
Demostrar que
Modelo de 2° Parcial para Análisis Matemático II
Problema nº 1
Sean S₁ y S₂ superficies abiertas regulares y simples incluidas en un abierto de ℜ³, ambas con la misma curva frontera C. Si 
= ∇f. ∇g con f:ℜ³ ⟶ ℜ y g:ℜ³ ⟶ ℜ funciones de clase C¹.
a) Mostrar que es solenoidal
b) Si el flujo de a través de S₁ es 3·π, calcular 
Problema nº 2
Sea "C" cualquier camino que une un punto P₁ = (x₁, y₁, z₁) de la esfera x² + y² + z² = a² con un punto P₂ = (x₂, y₂, z₂) de la esfera de radio b. Mostrar que si = 5·||ř³||·ř, donde ř = (x, y, z) ⟶ 
Problema nº 3
Calcular la masa total de la superficie semiesférica Z = (r² - x² - y²)½ si la densidad está dada por δ (x, y, z) = x² + y²
Problema nº 4
a) Calcular ΦC 
·dx + (x + y)·dy siendo C la frontera del recinto D = {(x, y)/y - x = 0; y = 0; y = 1; y² = x - 1}
b) Verificar el teorema de Green
Problema nº 5
Sea φ: ℜ³ ⟶ ℜ/φ ⊂ C¹. Calcular 
siendo φ (x, y, z) = x·y·z y S la superficie limitada por el cilindro x² + y² = 16 en el primer octante y para 0 ≤ z ≤ 5.
Modelo de 2° Parcial para Análisis Matemático II
Problema nº 1
Sea V un volumen limitado por la superficie S. Probar estableciendo condiciones apropiadas para el campo escalar Ø y el campo vectorial 
la igualdad
Problema nº 2
Sea.
(x, y, z) = [-y/(x² + y²); x/(x² + y²); 0]
a) Demostrar que es irrotacional
b) Demostrar que es conservativo
Problema nº 3
Calcular
a)
a largo de la curva x⅔ + y⅔ = 2
b) A lo largo de la elipse x²/4 + y²/9 = 1
Problema nº 4
Calcular el área de la porción de cono x² + y² = 3·z², interior al cilindro x² + y² = 4·y con z ≥ 0
Problema nº 5
Sea la curva C: 
(t) = (2·cos t, 2·sen t, 2·sen t) con t ⊂ [0,2·π] y ⊂ C¹/rot = (z, 0, 1 - x).
a) Exprese C como intersección de dos superficies
b) Calcule la circulación de a lo largo de C
Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet).
Superficies abiertas regulares.