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Modelos de examen parcial. EX06

Contenido: Modelos de examen: 2° parcial de Análisis Matemático II.

Modelos de examen

Modelo de 2° Parcial para Análisis Matemático II

Problema n° 1) Dada ƒ:D ⊂ ℜn → ℜ(n > 1), A punto interior a D y r ⊂ ℜn, se debe realizar la derivada direccional ƒ'(A, r)

  1. Cuando es posible calcularla usando el ∇ƒ? Justifique respuesta
  2. Siendo:

ƒ(x, y) =

xy

Si

x·y ≥ 0

x + y

Si

x·y < 0

Halle los seis versores para los cuales la derivada direccional es nula en (0, 0).

Problema n° 2) Sean ƒ:ℜ → ℜ y g:ℜ² → ℜ ambas C²; si se construye h = ƒ o g, analizando únicamente mediante el Hessiano. En que casos los puntos para los que g produce máximos (mínimos) la función h produce máximos?

Problema n° 3) Calcule el flujo de ƒ(x, y, z) = (y, x² - y, x·y) a través del trozo de superficie cilíndrica de ecuación y = x² en el primer octante, con x + y + z ≤ 2. Indique claramente en un gráfico la orientación que usted ha elegido para n.

Problema n° 4) Sea ƒ un campo de gradientes con matriz jacobiana:

Df(x, y) =  

-6·x

1

 

1

0

Sabiendo que la gráfica de su función potencial pasa por (1,2,1) con plano tangente x - y + z = 0, demuestre que la circulación de ƒ a lo largo de cualquier curva que une un punto A del eje y con otro punto B de la parábola y = x² resulta nula.

Problema n° 5) Calcule la masa del cuerpo limitado por x² + z = 2, z = x² + 2·y², en el primer octante, si su densidad en cada punto es proporcional a la distancia desde el punto al eje.

 

Modelo de 2° Parcial para Análisis Matemático II

Problema n° 1) Dada g:D ⊂ ℜ² → ℜ/g(x, y) = ƒ(x, y), siendo ƒ:ℜ² → ℜ/ƒ(x, y) = x²·y² - x³·y.

  1. Grafique D y demuestre que g(0, 0) es un mínimo absoluto de g(x, y) en D
  2. Demuestre que ƒ(0, 0) no es extremo relativo ni absoluto de ƒ(x, y) en ℜ²

Problema n° 2) Sea ƒ: ℜ² - {A} → ℜ², ƒ tiene derivadas continuas y cumple la condición de simetría en su dominio.

Se sabe además que las integrales de línea C+ ƒ = 4 y DHB ƒ = 6.

Calcule justificando su procedimiento: DHB ƒ y DEB ƒ

Problema n° 3) Calcule el flujo de ƒ(x, y, z) = ((x²·y,81 - xez - 1,(1 - xez - y) a través de la superficie frontera del cuerpo limitado por

zx², x + z ≤ 2, y ≤ 4, en el primer octante.

Problema n° 4) Sea C la curva definida como intersección de las superficies ez - 1 - x·y + ln (y·z) = 0 con y = x², si r0 es la recta tangente a C en A = (1, 1, 1). Calcule la distancia desde A hasta el punto en que r0 corta al plano de ecuación x + y = 8.

Problema n° 5) Calcule la circulación del campo ƒ cuyo rot(ƒ) = (x - y, y - x, -2·z) a lo largo de la curva de ecuación X = g(t) con t ⊂ [0,2·π], cuando g(t) = (3·cos t, 3·sen t, 6 - 3·cos t - 3·sen t).

 

Modelo de 2° Parcial para Análisis Matemático II

Problema n° 1) Dada u(x, y) = y. ƒ(x/y) con ƒ ⊂ C², demuestre que X = (x, y) es tangente a la línea de nivel de u'x que pasa por X.

Problema n° 2) Sea f:ℜ² → ℜ con matriz jacobiana contínua y simétrica en ℜ², demuestre que la circulación de ƒ no depende del camino.

Problema n° 3) Determine los valores de a y b que minimizan el flujo de ƒ(x, y, z) = (a²·x + b·y, b²·y + a·x, a·x·y - 4·(b - az)

a través de la superficie frontera del cuerpo definido por 2·x² + 2·y² ≤ z ≤ 8, y calcule el valor de dicho flujo mínimo.

Problema n° 4) Si (div ƒ)(x, y, z) = 2·y calcule el flujo de ƒ a través del casquete de esfera de ecuación x = (4 - y² - z²)½ sabiendo que ƒ(0, y, z) = (ey² + z², z, y²). Indique claramente en un esquema la orientación del versor normal elegido.

Problema n° 5) Dada la superficie S de ecuación X = (u·(v + 8/9)3/2, u - v, u·v) con (u, v) ⊂ ℜx[-8/9, ∞], calcule la longitud del trozo de línea coordenada de u = 1 cuyos puntos están en el primer octante.

 

Modelo de 2° Parcial para Análisis Matemático II

Problema n° 1) Sea φ ⊂ C²(ℜ³), demuestre que F = φ∇φ es un campo de gradientes, y calcule λAB F·ds sabiendo que φ (B) = 7 y que λAB ∇φ·ds = 4 (A y B son los puntos inicial y final del arco de una curva suave λAB)

Problema n° 2) Considera los campos escalares ƒ y g definidos en D ⊂ ℜn,A interior a D, g(A) = 0, ƒ contínua en A.

Demuestre que si g es derivable respecto de r en A, también lo es h = ƒ·g, resultando h'(A, r) = ƒ(Ag'(A,r).

Problema n° 3) Calcule el flujo de ƒ(x, y, z) = (z³, y·x², x·z²) a través del trozo de cilindro de ecuación x² + z² = 4 cuyos puntos cumplen con z ≥ (x² + 2·y)½. Indique en un esquema la orientación del n que ha elegido.

Problema n° 4) La ecuación 1 + x² - 2·x·z + y²·ez - 1 - ln z = 0 define implícitamente a z = ƒ(x, y), analice la existencia de extremos relativos de los valores de ƒ.

Problema n° 5) Calcule el momento estático del cuerpo H respecto del plano x, z si la densidad en cada punto es proporcional a la distancia desde el punto al plano x, z. H está en el primer octante definido por x + y + z ≤ 2, zx + y, yx.

 

Modelo de 2° Parcial para Análisis Matemático II

Problema n° 1) Sean A y B dos puntos de la superficie de nivel k del campo escalar ƒ ⊂ C¹(ℜ³), demuestre que C (∂ƒ/∂T)·dS = 0 a lo largo de cualquier curva C suave con una A con B. (T es el versor tangente a C)

Problema n° 2) Calcule el flujo de f(x, y, z) = (P(y, z), y + z²,2·z - x) a través de la superficie frontera del cuerpo definido por

y ≥ 2·x², y ≤ 2, x + z ≤ 1, x ≥ 0, z ≥ 0; sabiendo que ƒC¹(ℜ³).

Problema n° 3) Sea S la superficie de ecuación z = φ (x, y) definida implícitamente por y·z - x + ln z = 0, y π0 el plano tangente a S en su punto común con el eje Z. Determine los valores de a, b, c, d para que el plano de ecuación a·x + b·y + c·z = d que pasa por (1, 3, 0) sea paralelo al π0

Problema n° 4) Sea ƒC¹(ℜ³) tal que ƒ(x, 0, 0) = (x², 0, x) y rot ƒ(x, y, z) = (2·y + 1, y - 1, -z). Calcule C ƒ·dS desde (2, 0, 0) hasta (-2, 0, 0) a lo largo de C intersección de

z = (4 - x²)½, con y = 0

Problema n° 5) Calcule el área del trozo de esfera de ecuación x² + y² + z² = 20 con z ≥ 2·(x² + y²)½

 

Modelo de 2° Parcial para Análisis Matemático II

Problema n° 1) Si ƒ = rot(A), Demuestre que todo campo C¹(ℜ³), tiene flujo nulo a través de cualquier superficie S cerrada suave a trozos.

Problema n° 2) Dada 2·x·y + z + e² - 1 = 0 que define implícitamente a ƒ(x, y), demuestre que ƒ(x, y) ≈ - x·y en un E(0, 0).

Problema n° 3) Sea.

ƒ(x, y) =

y² - x²

Si

x ≥ 0

(x + 1)² + y²

Si

x < 0

Grafique el conjunto de nivel 0, y analice si ƒ(0, 0) es extremo relativo.

Problema n° 4) Calcule es área de la superficie frontera del cuerpo definido por: yx, x + y + z ≤ 2, primer octante.

Problema n° 5) Calcule el flujo de ƒ a través del trozo de paraboloide de ecuación z = 4 - x² - y² con z ≥ 0, sabiendo que ƒ(x, y, 0)·k = 3·y que div(ƒ(x, y, z)) = 3·x². Indique claramente en un esquema la orientación que ha elegido para el n al paraboloide.

 

Modelo de 2° Parcial para Análisis Matemático II

Problema n° 1) Sea ƒ: ℜ² - {A} → ℜ² con matriz Jacobiana contínua y simétrica en su dominio. Considere curvas del tipo simple cerrada y suave a trozos, orientadas en sentido positivo y que no pasen por A.

Demuestre que la circulación de ƒ a lo largo de cualquier curva que rodea al punto A tiene el mismo valor; ídem para las que no lo rodean.

Es decir: Resolver integral y Resolver integral

Problema n° 2) Calcule el área de la región D del plano x·y cuya frontera es la curva de ecuación X = g(t) con t ⊂ [-1, 3], siendo:

g(t) =

(t, 0)
(t, t²)
(2 - t, (3 - t)/2)

Si
si
si

-1 ≤ t ≤ 0
0 ≤ t ≤ 1
1 ≤ t ≤ 3

Problema n° 3) Calcule el flujo de ƒ(x, y, z) = (z³, y·z, x·z²) a través del trozo S de cilindro de ecuación z = (32 - x²)½ con y ≥ 3·x, z ≥ (x² + 2·y²)½, en el primer octante. Indique claramente en un esquema la orientación que ha elegido para el versor normal a S.

Problema n° 4) Calcule el volumen en el primer octante limitado por x² + y² = 4, z = x, y = x, y = 0.

Problema n° 5) Dada.

ƒ(x, y) =

x·y²/(x² - y²)

Si

|x| ≠ |y|

0

Si

|x| = |y|

Demuestre que ƒ es derivable en toda dirección en el origen, pero no es diferenciable en dicho punto.

 

Modelo de 2° Parcial para Análisis Matemático II

Problema n° 1) Sea ƒ:D ⊂ ℜ² → ℜ/|ƒ(x, y)| ≤ |x, y| ∀ (x, y) E(0). Demuestre que ƒes contínua y derivable en toda dirección en (0, 0).

Problema n° 2) Siendo w = x·y - x² con y = ƒ(x) definida implícitamente por x + 2·y + ex·y - 4 = 0, resulta w = h(x). Calcule h(0,02) en forma aproximada usando diferencia total.

Problema n° 3) Calcule el área del trozo de esfera de ecuación x² + y² + z² = 2 con zx² + y², y ≥ x, x ≥ 0.

Problema n° 4) Halle el punto común a la recta r y el plano de ecuación z = x + 3·y, si r es la recta tangente a la curva definida por la intersección de las superficies de ecuación x² - y² + z = 0 y z = x - 5 en (2, 1, -3).

Problema n° 5) Calcule el momento estático respecto del plano x·y del cuerpo definido por x² + y² + z² ≤ 2 con y ≥ x² si la densidad en cada punto es proporcional a la distancia desde el punto al plano x, z

Signos utilizados en las fórmulas y cálculos:

  • Signo separador de miles: punto (.)
  • Signo separado decimal: coma (,)
  • Signo de multiplicación: punto medio (·) o ×
  • Signo de división: barra (/) o dos puntos (:)

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