Modelos de examen parcial de Análisis Matemático II. Resuelto
Modelo de 2° Parcial para Análisis Matemático II
Problema nº 1
Calcular el área de la superficie generada por la rotación, alrededor del eje y, del arco de curva y³ - 3·x = 0, comprendido entre los puntos (0, 0) y (9, 3).
y³ - 3·x = 0 ⇒ ⅓·y³ = x = f(y)
Aplicamos:
Calculamos:
Problema nº 2
Calcular la integral del campo:
Sobre la curva y = eˣ, desde el punto (1, e) hasta el punto (0, 1).
Verificamos las derivadas parciales cruzadas:
Cumple para (x, y) ≠ (0, 0).
Verificamos:
F(X·t) = tα·F(x) ⟶ α ≠ -1
F(X·t) = t⅓·F(x) ⟶ α ≠ -1
Se trata de un campo homogéneo y conservativo para (x, y) ≠ (0, 0).
Calculamos la diferencia de potencial:
Problema nº 3
Escribir la ecuación cartesiana del plano tangente a la superficie X(u, v) = (v² - u², u + v, v²), en el punto (3, -1, 4).
Verificamos el punto:
v² - u² = 3
u + v = -1
v² = 4 ⇒ v = ±2
(±2)² - u² = 3 ⇒ u² = 4 - 3 ⇒ u = ±1
u + v = -1 ⇒ 1 - 2 = -1
Resulta para:
u = 1
v = -2
Entonces:
X(1, -2) = (3, -1, 4)
Calculamos el vector normal:
Xᵤ = (-2·u, 1, 0) ⇒ Xᵤ(1, -2) = (-2, 1, 0)
Xᵥ = (2·v, 1, 2·v) ⇒ Xᵥ(1, -2) = (-4, 1, -4)
Calculamos la ecuación del plano:
Z·Xᵤ×Xᵥ = X(1, -2)·Xᵤ×Xᵥ
(x, y, z)·(-4, -8, 2) = (3, -1, 4)·(-4, -8, 2)
-4·x - 8·y + 2·z = -12 + 8 + 8
2·x + 4·y - z = -2
Problema nº 4
Verificar el teorema de Stokes, si F = (y, x², z·x) y S es el hemisferio x² + y² + z² = 4, z ≥ 0.
Aplicamos:
Calculamos el primer miembro, parametrizamos la frontera sobre el plano z = 0:
C(t) = (2·cos t, 2·sen t; 0)
0 ≤ t ≤ 2·π
Derivamos:
C'(t) = (-2·sen t, 2·cos t, 0)
F(C(t)) = (2·sen t, (-2·cos t)², 0·(-2·cos t)) = (2·sen t, 4·cos² t, 0)
Armamos la integral:
El primer miembro resulta:
Para el segundo miembro calculamos primero el rotor de F:
Parametrizamos la superficie, pero elegimos parametrizar el círculo base que tiene el mismo borde:
X(r, t) = (r·cos t, r·sen t, 0)
0 ≤ r ≤ 2
0 ≤ t ≤ 2·π
Calculamos el vector normal:
Xᵣ = (cos t, sen t, 0)
Xₜ = (-r·sen t, r·cos t, 0)
n = (0, 0, r)
Como "r" es siempre positivo el vector normal apunta hacía la parte positiva de "z", significa página interior de la superficie elegida.
rot F(X(r, t)) = (0, 0, 2·r·cos t - 1)
El segundo miembro resulta:
Verificándose:
Problema nº 5
Integrar las siguientes ecuaciones diferenciales:
a) x·dy + y·dx = eˣ·dx, y(1) = 1
b) y" - 3·y' = e⁻ˣ + x² + 2
a)
x·dy = -y·dx + eˣ·dx ⇒ x·dy = (-y + eˣ)·dx ⇒ 
x·y - eˣ = c ⇒ x·y = eˣ + c ⇒ y = (eˣ + c)/x
Para y(1) = 1:
1·1 = e¹ + c ⇒ 1 = e + c ⇒ 1 - e = c
La solución particular es:
yₚ = (eˣ + 1 - e)/x
b)
Hallamos las raíces para la integral homogénea:
λ² - 3·λ = 0 ⇒ (λ - 3)·λ = 0
λ₁ = 0
λ₂ = 3
La integral homogénea es:
y* = C₁·e⁰˙ˣ + C₂·e³˙ˣ ⇒ y* = C₁ + C₂·e³˙ˣ
= a·x³ + b·x² + c·x + d·e⁻ˣ
' = 3·a·x² + 2·b·x + c - d·e⁻ˣ
" = 6·a·x + 2·b + d·e⁻ˣ
Debe cumplir:
" - 3·' = e⁻ˣ + x² + 2
6·a·x + 2·b + d·e⁻ˣ - 9·a·x² - 6·b·x - 3·c + 3·d·e⁻ˣ) = e⁻ˣ + x² + 2
4·d·e⁻ˣ - 9·a·x² + 6·a·x - 6·b·x + 2·b - 3·c = e⁻ˣ + x² + 2
= -1·x³/9 - 1·x²/9 - 20·x/27 + e⁻ˣ/4
La integral general es:
y = C₁ + C₂·e³˙ˣ - x³/9 - x²/9 - 20·x/27 + e⁻ˣ/4
Problema nº 6
Calcular el flujo saliente del campo F(x) = (y, z, x·z) a través de la frontera del sólido T definido por las siguientes desigualdades:
x² + y² ≤ z ≤ 1, x ≥ 0.
Problema nº 7
Demostrar que un campo central F = α(r)·X definido en un abierto conexo U ⊆ ℜⁿ es conservativo en U.
Modelo de 2° Parcial para Análisis Matemático II
Problema nº 1
Escribir la ecuación cartesiana del plano tangente a la superficie X(u, v) = (v·u³, v² - u, v²), en el punto (1, 2, 1).
Problema nº 2
Calcular el área de la superficie generada por la rotación, alrededor del eje x, del arco de curva y² - 2·x = 0, comprendido entre los puntos (2, 2) y (8, 4).
Problema nº 3
Calcular la integral del campo:
Sobre la hipérbola (y - 1)·(x - 2) = 1, desde el punto (0,½) hasta el punto (1,0).
Problema nº 4
Integrar las siguientes ecuaciones diferenciales:
a) x·y" - x²·cos x = y, y(1) = 1
b) y" + 2·y' = 3 + sen x
Problema nº 5
Calcular el flujo saliente del campo F(x) = (x·y, x, y) a través de la frontera del sólido T definido por las siguientes desigualdades:
x² + y² ≤ z²
0 ≤ z ≤ 2
x ≥ 0
y ≥ 0
Problema nº 6
Verificar el teorema de Stokes, si F = (y, - x·z, z²) y S es la porción de paraboloide z = x² + y², z ≤ 9.
Problema nº 7
Demostrar que si F es un campo homogéneo de grado α ≠ -1 en un abierto conexo U ⊆ ℜ², y su matriz jacobiana es simétrica, entonces el campo F es conservativo en U.
Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet).