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Modelo de 2° Parcial para Análisis Matemático II

Problema n° 1) Calcular el área de la superficie generada por la rotación, alrededor del eje y, del arco de curva y³ - 3·x = 0, comprendido entre los puntos (0, 0) y (9, 3).

y³ - 3·x = 0 ⇒ y³/3 = x = f(y)

Aplicamos:

Calculamos:

Problema n° 2) Calcular la integral del campo:

sobre la curva y = e^x, desde el punto (1, e) hasta el punto (0, 1).

Verificamos las derivadas parciales cruzadas:

Cumple para (x,y) ≠ (0,0).

Verificamos:

F(X·t) = t^α·F(X) → α ≠ -1

F(X·t) = t^1/3·F(X) → α ≠ -1

Se trata de un campo homogéneo y conservativo para (x,y) ≠ (0,0).

φ(x,y) = [1/(1 + 1/3)]·X·F(X)

Calculamos la diferencia de potencial:

Problema n° 3) Escribir la ecuación cartesiana del plano tangente a la superficie X(u,v) = (v² - u²,u + v,v²), en el punto (3, -1, 4).

Verificamos el punto:

v² - u² = 3

u + v = -1
v² = 4 ⇒ v = ±2

(±2)² - u² = 3 ⇒ u² = 4 - 3 ⇒ u = ±1

u + v = -1 ⇒ 1 - 2 = -1

Resulta para:

u = 1

v = -2

Entonces:

X(1,-2) = (3,-1,4)

Calculamos el vector normal:

X_u = (-2·u, 1, 0) ⇒ X_u(1, -2) = (-2, 1, 0)

X_v = (2·v, 1, 2·v) ⇒ X_v(1, -2) = (-4, 1, -4)

Calculamos la ecuación del plano:

Z·X_uxX_v = X(1,-2)·X_uxX_v

(x,y,z)·(-4,-8,2) = (3,-1,4)·(-4,-8,2)

-4·x - 8·y + 2·z = -12 + 8 + 8

2·x + 4·y - z = -2

Problema n° 4) Verificar el teorema de Stokes, si F = (y,x²,z·x) y S es el hemisferio x² + y² + z² = 4, z ≥ 0.

Aplicamos:

  = ∫∫_S rot F·dS

Calculamos el primer miembro, parametrizamos la frontera sobre el plano z = 0:

C(t) = (2·cos t,2·sen t;0)

0 ≤ t ≤ 2·π

Derivamos:

C´(t) = (-2·sen t,2·cos t;0)

F(C(t)) = (2·sen t,(-2·cos t)²,0·(-2·cos t)) = (2·sen t,4·cos² t,0)

Armamos la integral:

El primer miembro resulta:

  = -4·π

Para el segundo miembro calculamos primero el rotor de F:

Parametrizamos la superficie, pero elegimos parametrizar el círculo base que tiene el mismo borde:

X(r,t) = (r·cos t,r·sen t,0)

0 ≤ r ≤ 2

0 ≤ t ≤ 2·π

Calculamos el vector normal:

X_r = (cos t, sen t, 0)

X_t = (-r·sen t, r·cos t, 0)

n = (0, 0, r)

Como r es siempre positivo el vector normal apunta hacía la parte positiva de z, significa página interior de la superficie elegida.

∫∫_S rot F·dS = ∫∫_S1 rot F·dS

rot F(X(r,t)) = (0,0,2·r·cos t - 1)

∫∫_S rot F·dS = ∫∫_D (0,0,2·r·cos t - 1)·(0,0,r)·dt·dr = ∫∫_D (2·r²·cos t - r)·dt·dr

El segundo miembro resulta:

∫∫_S rot F·dS = -4·π

Verificándose:

  = ∫∫_S rot F·dS = -4·π

Problema n° 5) Integrar las siguientes ecuaciones diferenciales:

1. x·dy + y·dx = e^x·dx, y(1) = 1
2. y" - 3·y´ = e^-x + x² + 2

a -

x·dy = -y·dx + e^x·dx ⇒ x·dy = (-y + e^x)·dx ⇒ ∫x·dy = ∫(-y + e^x)·dx

x·y - e^x = c ⇒ x·y = e^x + c ⇒ y = (e^x + c)/x

Para y(1) = 1:

1·1 = e¹ + c ⇒ 1 = e + c ⇒ 1 - e = c

La solución particular es:

y_p = (e^x + 1 - e)/x

b - Hallamos las raíces para la integral homogénea:

λ² - 3·λ = 0 ⇒ (λ - 3)·λ = 0

λ₁ = 0

λ₂ = 3

La integral homogénea es:

y* = C₁·e^0·x + C₂·e^3·x ⇒ y* = C₁ + C₂·e^3·x

y = a·x³ + b·x² + c·x + d·e^-x

y´ = 3·a·x² + 2·b·x + c - d·e^-x

y" = 6·a·x + 2·b + d·e^-x

Debe cumplir:

y" - 3·y´ = e^-x + x² + 2

6·a·x + 2·b + d·e^-x - 9·a·x² - 6·b·x - 3·c + 3·d·e^-x) = e^-x + x² + 2

4·d·e^-x - 9·a·x² + 6·a·x - 6·b·x + 2·b - 3·c = e^-x + x² + 2

y = -1·x³/9 - 1·x²/9 - 20·x/27 + e^-x/4

La integral general es:

y = C₁ + C₂·e^3·x - x³/9 - x²/9 - 20·x/27 + e^-x/4

Problema n° 6) Calcular el flujo saliente del campo F(X) = (y,z,x·z) a través de la frontera del sólido T definido por las siguientes desigualdades:

x² + y² ≤ z ≤ 1, x ≥ 0.

Problema n° 7) Demostrar que un campo central F = α (r)·X definido en un abierto conexo U ⊆ ℜⁿ es conservativo en U.

Modelo de 2° Parcial para Análisis Matemático II

Problema n° 1) Escribir la ecuación cartesiana del plano tangente a la superficie X(u,v) = (v·u³,v² - u,v²), en el punto (1,2,1).

Problema n° 2) Calcular el área de la superficie generada por la rotación, alrededor del eje x, del arco de curva y² - 2·x = 0, comprendido entre los puntos (2,2) y (8,4).

Problema n° 3) Calcular la integral del campo:

sobre la hipérbola (y - 1)·(x - 2) = 1, desde el punto (0,½) hasta el punto (1,0).

Problema n° 4) Integrar las siguientes ecuaciones diferenciales:

1. x·y" - x²·cos x = y, y(1) = 1
2. y" + 2·y´ = 3 + sen x

Problema n° 5) Calcular el flujo saliente del campo F(X) = (x·y,x,y) a través de la frontera del sólido T definido por las siguientes desigualdades:

x² + y² ≤ z²

0 ≤ z ≤ 2

x ≥ 0

y ≥ 0

Problema n° 6) Verificar el teorema de Stokes, si F = (y, - x·z, z²) y S es la porción de paraboloide z = x² + y², z ≤ 9.

Problema n° 7) Demostrar que si F es un campo homogéneo de grado α ≠ -1 en un abierto conexo U ⊆ ℜ², y su matriz jacobiana es simétrica, entonces el campo F es conservativo en U.