Modelos de examen parcial de Análisis Matemático II. Resuelto

Modelo de 2° Parcial para Análisis Matemático II

Problema n° 1

Calcular el área de la superficie generada por la rotación, alrededor del eje y, del arco de curva y³ - 3·x = 0, comprendido entre los puntos (0, 0) y (9, 3).

Arco de curva

y³ - 3·x = 0 ⇒ ⅓·y³ = x = f(y)

Aplicamos:

A = 2·π·C x·ds = 2·π·bf(y)·1 + [f'(y)]²·dy
 
a

Calculamos:

A = 2·π·3⅓·y³·1 + (y²)²·dy
 
0
A = ⅔·π·3y³·1 + y4·dy
 
0
A = ¼·⅔·π·31 + y4·d(y4)
 
0
A = ⅙·⅔·π·[(1 + y4]3
 
0

A = ⅑·π·[(1 + 34 - (1 + 04]

A = ⅑·π·[(1 + 81)³ - (1)³]

A = ⅑·π·(82³ - 1)

A = ⅑·π·(82·82 - 1)

Problema n° 2

Calcular la integral del campo:

F = (9·x,y)
9·x² + y²9·x² + y²

Sobre la curva y = ex, desde el punto (1, e) hasta el punto (0, 1).

Verificamos las derivadas parciales cruzadas:

d[9·x] =-6·x·y ⇒ fy = gx
dy9·x² + y²(9·x² + y²)4
 
d[y] =-6·x·y
dx9·x² + y²(9·x² + y²)4

Cumple para (x, y) ≠ (0, 0).

Verificamos:

F(X·t) = tα·F(x) ⟶ α ≠ -1

F(X·t) = (9·x·t,y·t)
9·(x·t)² + (y·t)²9·(x·t)² + (y·t)²
F(X·t) = (9·x·t,y·t)
(9·x² + y²)·t²(9·x² + y²)·t²
F(X·t) = (9·x·t,y·t)
t·(·x² + y²t·9·x² + y²
F(X·t) = (9·x·t,y·t)
9·x² + y²9·x² + y²
F(X·t) = t·(9·x,y)
9·x² + y²9·x² + y²

F(X·t) = t·F(x) ⟶ α ≠ -1

Se trata de un campo homogéneo y conservativo para (x, y) ≠ (0, 0).

φ(x, y) =1·X·F(x)
1 + ⅓
φ(x, y) = ¾·(x, y)·(9·x,y)
9·x² + y²9·x² + y²
φ(x, y) = ¾·(9·x²,)
9·x² + y²9·x² + y²
φ(x, y) = ¾·9·x² + y²
9·x² + y²
φ(x, y) = ¾·(9·x² + y²)³
9·x² + y²

φ(x, y) = ¾·(9·x² + y²)²

Calculamos la diferencia de potencial:

C F·dC = φ(0, 1) - φ(1, e)

C F·dC = ¾·(9·0² + 1²)² - ¾·(9·1² + e²)²

C F·dC = ¾·[1 - (9 + e²)²]

Problema n° 3

Escribir la ecuación cartesiana del plano tangente a la superficie X(u, v) = (v² - u², u + v, v²), en el punto (3, -1, 4).

Verificamos el punto:

v² - u² = 3

u + v = -1

v² = 4 ⇒ v = ±2

(±2)² - u² = 3 ⇒ u² = 4 - 3 ⇒ u = ±1

u + v = -1 ⇒ 1 - 2 = -1

Resulta para:

u = 1

v = -2

Entonces:

X(1, -2) = (3, -1, 4)

Calculamos el vector normal:

Xu = (-2·u, 1, 0) ⇒ Xu(1, -2) = (-2, 1, 0)

Xv = (2·v, 1, 2·v) ⇒ Xv(1, -2) = (-4, 1, -4)

Xu×Xv =E1E2E3= (-4, -8, 2)
-210
-41-4

Calculamos la ecuación del plano:

Z·Xu×Xv = X(1, -2)·Xu×Xv

(x, y, z)·(-4, -8, 2) = (3, -1, 4)·(-4, -8, 2)

-4·x - 8·y + 2·z = -12 + 8 + 8

2·x + 4·y - z = -2

Problema n° 4

Verificar el teorema de Stokes, si F = (y, x², z·x) y S es el hemisferio x² + y² + z² = 4, z ≥ 0.

Aplicamos:

C F·dC = S rot F·dS

Calculamos el primer miembro, parametrizamos la frontera sobre el plano z = 0:

C(t) = (2·cos t, 2·sen t; 0)

0 ≤ t ≤ 2·π

Derivamos:

C'(t) = (-2·sen t, 2·cos t, 0)

F(C(t)) = (2·sen t, (-2·cos t)², 0·(-2·cos t)) = (2·sen t, 4·cos² t, 0)

Armamos la integral:

C F·dC = 2·πF(C(t))·C'(t)·dt
 
0
C F·dC = 2·π(2·sen t, 4·cos² t, 0)·(-2·sen t, 2·cos t, 0)·dt
 
0
C F·dC = 2·π(-4·sen² t + 8·cos³ t)·dt
 
0
C F·dC = -4·2·πsen² t·dt + 8·2·πcos³ t·dt
  
00
C F·dC = -4·½·(t - sen t·cos t)2·π+ 8·2·π(1 - sen² t)·cos t·dt
  
00
C F·dC = -2·2·π + 8·2·π(cos t - sen² t·cos t)·dt
 
0
C F·dC = -4·π + 8·2·πcos t·dt - 8·2·πsen² t·d(sen t)
  
00
C F·dC = -4·π + 8·(-sen t)2·π- 8·(⅓·sen³ t)2·π
  
00

El primer miembro resulta:

C F·dC = -4·π

Para el segundo miembro calculamos primero el rotor de F:

rot F =E1E2E3= (0, -z, 2·x - 1)

∂x

∂y

∂z
yz·x

Parametrizamos la superficie, pero elegimos parametrizar el círculo base que tiene el mismo borde:

X(r, t) = (r·cos t, r·sen t, 0)

0 ≤ r ≤ 2

0 ≤ t ≤ 2·π

Calculamos el vector normal:

Xr = (cos t, sen t, 0)

Xt = (-r·sen t, r·cos t, 0)

n =E1E2E3= (0, 0, r·cos² t + r·sen² t)
cos tsen t0
-r·sen tr·cos t0

n = (0, 0, r)

Como "r" es siempre positivo el vector normal apunta hacía la parte positiva de "z", significa página interior de la superficie elegida.

S rot F·dS = S1 rot F·dS

rot F(X(r, t)) = (0, 0, 2·r·cos t - 1)

S rot F·dS = D (0, 0, 2·r·cos t - 1)·(0, 0, r)·dt·dr = D (2·r²·cos t - r)·dt·dr

S rot F·dS = 2·πdt2(2·r²·cos t - r)·dr
  
00
S rot F·dS = 2·π(⅓·2·r³·cos t - ½·r²)2·dt
  
00
S rot F·dS = 2·π(⅓·16·cos t - 2)·dt
 
0
S rot F·dS = (-⅓·16·sen t - 2·t)2·π
 
0

S rot F·dS = -2·2·π

El segundo miembro resulta:

S rot F·dS = -4·π

Verificándose:

C F·dC = S rot F·dS = -4·π

Problema n° 5

Integrar las siguientes ecuaciones diferenciales:

a) x·dy + y·dx = ex·dx, y(1) = 1

b) y" - 3·y' = e-x + x² + 2

a)

x·dy = -y·dx + ex·dx ⇒ x·dy = (-y + ex)·dx ⇒ x·dy = (-y + ex)·dx

x·y - ex = c ⇒ x·y = ex + c ⇒ y = (ex + c)/x

Para y(1) = 1:

1·1 = e¹ + c ⇒ 1 = e + c ⇒ 1 - e = c

La solución particular es:

yp = (ex + 1 - e)/x

b)

Hallamos las raíces para la integral homogénea:

λ² - 3·λ = 0 ⇒ (λ - 3)·λ = 0

λ1 = 0

λ2 = 3

La integral homogénea es:

y* = C1·e0·x + C2·e3·x ⇒ y* = C1 + C2·e3·x

y = a·x³ + b·x² + c·x + d·e-x

y' = 3·a·x² + 2·b·x + c - d·e-x

y" = 6·a·x + 2·b + d·e-x

Debe cumplir:

y" - 3·y' = e-x + x² + 2

6·a·x + 2·b + d·e-x - 9·a·x² - 6·b·x - 3·c + 3·d·e-x) = e-x + x² + 2

4·d·e-x - 9·a·x² + 6·a·x - 6·b·x + 2·b - 3·c = e-x + x² + 2

4·d·e-x = e-x ⇒ 4·d = 1 ⇒ d = ¼
- 9·a·x² = x² ⇒ - 9·a = 1 ⇒ a = -⅑
6·a·x - 6·b·x = 0·x ⇒ 6·a - 6·b = 0 ⇒ a - b = 0 ⇒ b = a ⇒ b = -⅑
2·b - 3·c = 2 ⇒ 3·c = 2·b - 2 ⇒ c = (2·b - 2)/3 ⇒ c = (2·(-⅑) - 2)/3 ⇒ c = -20/27

y = -1·x³/9 - 1·x²/9 - 20·x/27 + e-x/4

La integral general es:

y = C1 + C2·e3·x - x³/9 - x²/9 - 20·x/27 + e-x/4

Problema n° 6

Calcular el flujo saliente del campo F(x) = (y, z, x·z) a través de la frontera del sólido T definido por las siguientes desigualdades:

x² + y² ≤ z ≤ 1, x ≥ 0.

Problema n° 7

Demostrar que un campo central F = α(r)·X definido en un abierto conexo U ⊆ ℜn es conservativo en U.

Modelo de 2° Parcial para Análisis Matemático II

Problema n° 1

Escribir la ecuación cartesiana del plano tangente a la superficie X(u, v) = (v·u³, v² - u, v²), en el punto (1, 2, 1).

Problema n° 2

Calcular el área de la superficie generada por la rotación, alrededor del eje x, del arco de curva y² - 2·x = 0, comprendido entre los puntos (2, 2) y (8, 4).

Problema n° 3

Calcular la integral del campo:

F = (x,4·y)
x² + 4·y²x² + 4·y²

Sobre la hipérbola (y - 1)·(x - 2) = 1, desde el punto (0,½) hasta el punto (1,0).

Problema n° 4

Integrar las siguientes ecuaciones diferenciales:

a) x·y" - x²·cos x = y, y(1) = 1

b) y" + 2·y' = 3 + sen x

Problema n° 5

Calcular el flujo saliente del campo F(x) = (x·y, x, y) a través de la frontera del sólido T definido por las siguientes desigualdades:

x² + y² ≤ z²

0 ≤ z ≤ 2

x ≥ 0

y ≥ 0

Problema n° 6

Verificar el teorema de Stokes, si F = (y, - x·z, z²) y S es la porción de paraboloide z = x² + y², z ≤ 9.

Problema n° 7

Demostrar que si F es un campo homogéneo de grado α ≠ -1 en un abierto conexo U ⊆ ℜ², y su matriz jacobiana es simétrica, entonces el campo F es conservativo en U.

Autor: Sin datos

Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

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