Modelo de 2° Parcial para Análisis Matemático II
Problema n° 1
Calcular el área de la superficie generada por la rotación, alrededor del eje y, del arco de curva y³ - 3·x = 0, comprendido entre los puntos (0, 0) y (9, 3).
y³ - 3·x = 0 ⇒ ⅓·y³ = x = f(y)
Aplicamos:
A = 2·π·∫C x·ds = 2·π·∫ | b | f(y)·√1 + [f'(y)]²·dy |
a |
Calculamos:
A = 2·π·∫ | 3 | ⅓·y³·√1 + (y²)²·dy |
0 |
A = ⅔·π·∫ | 3 | y³·√1 + y⁴·dy |
0 |
A = ¼·⅔·π·∫ | 3 | √1 + y⁴·d(y⁴) |
0 |
A = ⅙·⅔·π·[√(1 + y⁴)³] | 3 |
0 |
A = ⅑·π·[√(1 + 3⁴)³ - √(1 + 0⁴)³]
A = ⅑·π·[√(1 + 81)³ - √(1)³]
A = ⅑·π·(√82³ - √1)
A = ⅑·π·(82·√82 - 1)
Problema n° 2
Calcular la integral del campo:
F = ( | 9·x | , | y | ) |
∛9·x² + y² | ∛9·x² + y² |
Sobre la curva y = eˣ, desde el punto (1, e) hasta el punto (0, 1).
Verificamos las derivadas parciales cruzadas:
d | [ | 9·x | ] = | -6·x·y | ⇒ fy = gₓ | |
dy | ∛9·x² + y² | ∛(9·x² + y²)⁴ | ||||
d | [ | y | ] = | -6·x·y | ||
dx | ∛9·x² + y² | ∛(9·x² + y²)⁴ |
Cumple para (x, y) ≠ (0, 0).
Verificamos:
F(X·t) = tα·F(x) ⟶ α ≠ -1
F(X·t) = ( | 9·x·t | , | y·t | ) |
∛9·(x·t)² + (y·t)² | ∛9·(x·t)² + (y·t)² |
F(X·t) = ( | 9·x·t | , | y·t | ) |
∛(9·x² + y²)·t² | ∛(9·x² + y²)·t² |
F(X·t) = ( | 9·x·t | , | y·t | ) |
t⅔·∛(·x² + y² | t⅔·∛9·x² + y² |
F(X·t) = ( | 9·x·t⅓ | , | y·t⅓ | ) |
∛9·x² + y² | ∛9·x² + y² |
F(X·t) = t⅓·( | 9·x | , | y | ) |
∛9·x² + y² | ∛9·x² + y² |
F(X·t) = t⅓·F(x) ⟶ α ≠ -1
Se trata de un campo homogéneo y conservativo para (x, y) ≠ (0, 0).
φ(x, y) = | 1 | ·X·F(x) |
1 + ⅓ |
φ(x, y) = ¾·(x, y)·( | 9·x | , | y | ) |
∛9·x² + y² | ∛9·x² + y² |
φ(x, y) = ¾·( | 9·x² | , | y² | ) |
∛9·x² + y² | ∛9·x² + y² |
φ(x, y) = ¾· | 9·x² + y² |
∛9·x² + y² |
φ(x, y) = ¾· | ∛(9·x² + y²)³ |
∛9·x² + y² |
φ(x, y) = ¾·∛(9·x² + y²)²
Calculamos la diferencia de potencial:
∫C F·dC = φ(0, 1) - φ(1, e)
∫C F·dC = ¾·∛(9·0² + 1²)² - ¾·∛(9·1² + e²)²
∫C F·dC = ¾·[1 - ∛(9 + e²)²]
Problema n° 3
Escribir la ecuación cartesiana del plano tangente a la superficie X(u, v) = (v² - u², u + v, v²), en el punto (3, -1, 4).
Verificamos el punto:
v² - u² = 3
u + v = -1
v² = 4 ⇒ v = ±2
(±2)² - u² = 3 ⇒ u² = 4 - 3 ⇒ u = ±1
u + v = -1 ⇒ 1 - 2 = -1
Resulta para:
u = 1
v = -2
Entonces:
X(1, -2) = (3, -1, 4)
Calculamos el vector normal:
Xᵤ = (-2·u, 1, 0) ⇒ Xᵤ(1, -2) = (-2, 1, 0)
Xᵥ = (2·v, 1, 2·v) ⇒ Xᵥ(1, -2) = (-4, 1, -4)
Xᵤ×Xᵥ = | E₁ | E₂ | E₃ | = (-4, -8, 2) |
-2 | 1 | 0 | ||
-4 | 1 | -4 |
Calculamos la ecuación del plano:
Z·Xᵤ×Xᵥ = X(1, -2)·Xᵤ×Xᵥ
(x, y, z)·(-4, -8, 2) = (3, -1, 4)·(-4, -8, 2)
-4·x - 8·y + 2·z = -12 + 8 + 8
2·x + 4·y - z = -2
Problema n° 4
Verificar el teorema de Stokes, si F = (y, x², z·x) y S es el hemisferio x² + y² + z² = 4, z ≥ 0.
Aplicamos:
∮C F·dC = ∬S rot F·dS
Calculamos el primer miembro, parametrizamos la frontera sobre el plano z = 0:
C(t) = (2·cos t, 2·sen t; 0)
0 ≤ t ≤ 2·π
Derivamos:
C'(t) = (-2·sen t, 2·cos t, 0)
F(C(t)) = (2·sen t, (-2·cos t)², 0·(-2·cos t)) = (2·sen t, 4·cos² t, 0)
Armamos la integral:
∮C F·dC = ∫ | 2·π | F(C(t))·C'(t)·dt |
0 |
∮C F·dC = ∫ | 2·π | (2·sen t, 4·cos² t, 0)·(-2·sen t, 2·cos t, 0)·dt |
0 |
∮C F·dC = ∫ | 2·π | (-4·sen² t + 8·cos³ t)·dt |
0 |
∮C F·dC = -4·∫ | 2·π | sen² t·dt + 8·∫ | 2·π | cos³ t·dt |
0 | 0 |
∮C F·dC = -4·½·(t - sen t·cos t) | 2·π | + 8·∫ | 2·π | (1 - sen² t)·cos t·dt |
0 | 0 |
∮C F·dC = -2·2·π + 8·∫ | 2·π | (cos t - sen² t·cos t)·dt |
0 |
∮C F·dC = -4·π + 8·∫ | 2·π | cos t·dt - 8·∫ | 2·π | sen² t·d(sen t) |
0 | 0 |
∮C F·dC = -4·π + 8·(-sen t) | 2·π | - 8·(⅓·sen³ t) | 2·π |
0 | 0 |
El primer miembro resulta:
∮C F·dC = -4·π
Para el segundo miembro calculamos primero el rotor de F:
rot F = | E₁ | E₂ | E₃ | = (0, -z, 2·x - 1) |
∂ ∂x | ∂ ∂y | ∂ ∂z | ||
y | x² | z·x |
Parametrizamos la superficie, pero elegimos parametrizar el círculo base que tiene el mismo borde:
X(r, t) = (r·cos t, r·sen t, 0)
0 ≤ r ≤ 2
0 ≤ t ≤ 2·π
Calculamos el vector normal:
Xᵣ = (cos t, sen t, 0)
Xₜ = (-r·sen t, r·cos t, 0)
n = | E₁ | E₂ | E₃ | = (0, 0, r·cos² t + r·sen² t) |
cos t | sen t | 0 | ||
-r·sen t | r·cos t | 0 |
n = (0, 0, r)
Como "r" es siempre positivo el vector normal apunta hacía la parte positiva de "z", significa página interior de la superficie elegida.
∬S rot F·dS = ∬S1 rot F·dS
rot F(X(r, t)) = (0, 0, 2·r·cos t - 1)
∬S rot F·dS = ∬D (0, 0, 2·r·cos t - 1)·(0, 0, r)·dt·dr = ∬D (2·r²·cos t - r)·dt·dr
∬S rot F·dS = ∫ | 2·π | dt∫ | 2 | (2·r²·cos t - r)·dr |
0 | 0 |
∬S rot F·dS = ∫ | 2·π | (⅓·2·r³·cos t - ½·r²) | 2 | ·dt |
0 | 0 |
∬S rot F·dS = ∫ | 2·π | (⅓·16·cos t - 2)·dt |
0 |
∬S rot F·dS = (-⅓·16·sen t - 2·t) | 2·π |
0 |
∬S rot F·dS = -2·2·π
El segundo miembro resulta:
∬S rot F·dS = -4·π
Verificándose:
∮C F·dC = ∬S rot F·dS = -4·π
Problema n° 5
Integrar las siguientes ecuaciones diferenciales:
a) x·dy + y·dx = eˣ·dx, y(1) = 1
b) y" - 3·y' = e⁻ˣ + x² + 2
a)
x·dy = -y·dx + eˣ·dx ⇒ x·dy = (-y + eˣ)·dx ⇒ ∫ x·dy = ∫ (-y + eˣ)·dx
x·y - eˣ = c ⇒ x·y = eˣ + c ⇒ y = (eˣ + c)/x
Para y(1) = 1:
1·1 = e¹ + c ⇒ 1 = e + c ⇒ 1 - e = c
La solución particular es:
yₚ = (eˣ + 1 - e)/x
b)
Hallamos las raíces para la integral homogénea:
λ² - 3·λ = 0 ⇒ (λ - 3)·λ = 0
λ₁ = 0
λ₂ = 3
La integral homogénea es:
y* = C₁·e⁰˙ˣ + C₂·e³˙ˣ ⇒ y* = C₁ + C₂·e³˙ˣ
y = a·x³ + b·x² + c·x + d·e⁻ˣ
y' = 3·a·x² + 2·b·x + c - d·e⁻ˣ
y" = 6·a·x + 2·b + d·e⁻ˣ
Debe cumplir:
y" - 3·y' = e⁻ˣ + x² + 2
6·a·x + 2·b + d·e⁻ˣ - 9·a·x² - 6·b·x - 3·c + 3·d·e⁻ˣ) = e⁻ˣ + x² + 2
4·d·e⁻ˣ - 9·a·x² + 6·a·x - 6·b·x + 2·b - 3·c = e⁻ˣ + x² + 2
4·d·e⁻ˣ = e⁻ˣ ⇒ 4·d = 1 ⇒ d = ¼
- 9·a·x² = x² ⇒ - 9·a = 1 ⇒ a = -⅑
6·a·x - 6·b·x = 0·x ⇒ 6·a - 6·b = 0 ⇒ a - b = 0 ⇒ b = a ⇒ b = -⅑
2·b - 3·c = 2 ⇒ 3·c = 2·b - 2 ⇒ c = (2·b - 2)/3 ⇒ c = (2·(-⅑) - 2)/3 ⇒ c = -20/27
y = -1·x³/9 - 1·x²/9 - 20·x/27 + e⁻ˣ/4
La integral general es:
y = C₁ + C₂·e³˙ˣ - x³/9 - x²/9 - 20·x/27 + e⁻ˣ/4
Problema n° 6
Calcular el flujo saliente del campo F(x) = (y, z, x·z) a través de la frontera del sólido T definido por las siguientes desigualdades:
x² + y² ≤ z ≤ 1, x ≥ 0.
Problema n° 7
Demostrar que un campo central F = α(r)·X definido en un abierto conexo U ⊆ ℜⁿ es conservativo en U.
Modelo de 2° Parcial para Análisis Matemático II
Problema n° 1
Escribir la ecuación cartesiana del plano tangente a la superficie X(u, v) = (v·u³, v² - u, v²), en el punto (1, 2, 1).
Problema n° 2
Calcular el área de la superficie generada por la rotación, alrededor del eje x, del arco de curva y² - 2·x = 0, comprendido entre los puntos (2, 2) y (8, 4).
Problema n° 3
Calcular la integral del campo:
F = ( | x | , | 4·y | ) |
∛x² + 4·y² | ∛x² + 4·y² |
Sobre la hipérbola (y - 1)·(x - 2) = 1, desde el punto (0,½) hasta el punto (1,0).
Problema n° 4
Integrar las siguientes ecuaciones diferenciales:
a) x·y" - x²·cos x = y, y(1) = 1
b) y" + 2·y' = 3 + sen x
Problema n° 5
Calcular el flujo saliente del campo F(x) = (x·y, x, y) a través de la frontera del sólido T definido por las siguientes desigualdades:
x² + y² ≤ z²
0 ≤ z ≤ 2
x ≥ 0
y ≥ 0
Problema n° 6
Verificar el teorema de Stokes, si F = (y, - x·z, z²) y S es la porción de paraboloide z = x² + y², z ≤ 9.
Problema n° 7
Demostrar que si F es un campo homogéneo de grado α ≠ -1 en un abierto conexo U ⊆ ℜ², y su matriz jacobiana es simétrica, entonces el campo F es conservativo en U.
Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet).