Casos de Factoreo: factor común en grupos. Factorización
Segundo caso
Se aplica a los polinomios o expresiones algebraicas que tiene factores comunes en grupos de igual número de términos, se factorean dichos grupos y luego se factorean nuevamente con respecto a un nuevo factor común que aparece entre paréntesis.
Ejemplo n° 1
a·x + b·y + a·y + b·x =
Podemos agrupar los términos que tienen a por un lado, y los términos que tienen b por otro lado, reacomodamos:
a·x + a·y + b·y + b·x =
(a·x + a·y) + (b·y + b·x) =
Aplicamos el primer caso de factoreo y extraemos a y b:
a·(x + y) + b·(y + x) =
Reacomodamos:
a·(x + y) + b·(x + y) =
Ahora extraemos como "grupo común" al binomio x + y:
(a + b)·(x + y)
Finalmente:
a·x + b·y + a·y + b·x = (a + b)·(x + y)
En otras palabras, si observando los términos de un polinomio encontramos que pueden reunirse en grupos de igual número de términos con un factor común en cada grupo, se saca en cada uno de ellos el factor común. Si queda la misma expresión dentro de cada uno de los paréntesis, se extrae ésta expresión como factor común, quedando así factoreado el polinomio dado. Se repite la operación hasta que el polinomio o la expresión algebraica quede reducida a un producto de términos irreducibles.
Ejemplo n° 2
10·a·m²·x·z - 15·b·m²·x·z + 10·a·x - 15·b·x - 8·a·m²·y·z + 12·b·m²·y·z - 8·a·y + 12·b·y =
Observamos dós términos que contienen el 10, dos términos que contienen el 15, dos términos que contienen el 8 y dos términos que contienen el 12, reacomodamos:
10·a·m²·x·z + 10·a·x - 15·b·m²·x·z - 15·b·x - 8·a·m²·y·z - 8·a·y + 12·b·m²·y·z + 12·b·y =
Agrupamos multiplicando por "-1" los términos negativos:
(10·a·m²·x·z + 10·a·x) - (15·b·m²·x·z + 15·b·x) - (8·a·m²·y·z + 8·a·y) + (12·b·m²·y·z + 12·b·y) =
Factoreamos cada agrupado, por pasos:
10·(a·m²·x·z + a·x) - 15·(b·m²·x·z + b·x) - 8·(a·m²·y·z + a·y) + 12·(b·m²·y·z + b·y) =
Extraemos otros factores comunes:
10·a·x·(m²·z + 1) - 15·b·x·(m²·z + 1) - 8·a·y·(m²·z + 1) + 12·b·y·(m²·z + 1) =
Observamos que el binomio (m²·z + 1) es un factor común. Pero antes de continuar factoreamos los coeficientes:
2·5·a·x·(m²·z + 1) - 3·5·b·x·(m²·z + 1) - 2·2²·a·y·(m²·z + 1) + 2²·3·b·y·(m²·z + 1) =
En los dos primeros términos tenemos como factores comunes: 5, x y (m²·z + 1); en los dos segundos términos los factores comunes son: 2², y y (m²·z + 1), procedemos a agrupar:
[2·5·a·x·(m²·z + 1) - 3·5·b·x·(m²·z + 1)] + [- 2·2²·a·y·(m²·z + 1) + 2²·3·b·y·(m²·z + 1)] =
Extraemos los factores comunes señalados:
5·x·(m²·z + 1)·[2·a - 3·b] + 2²·y·(m²·z + 1)·[- 2·a + 3·b] =
Cambiamos a la simbología que corresponde:
5·x·(m²·z + 1)·(2·a - 3·b) + 2²·y·(m²·z + 1)·(- 2·a + 3·b) =
Al último binomio lo multiplicamos y lo dividimos por -1 (o extraemos factor común -1):
5·x·(m²·z + 1)·(2·a - 3·b) - 2²·y·(m²·z + 1)·(2·a - 3·b) =
Ahora extraemos como factor común al producto (m²·z + 1)·(2·a - 3·b):
(m²·z + 1)·(2·a - 3·b)·(5·x - 2²·y) =
Realizamos la última cuenta para expresar todo como corresponde:
10·a·m²·x·z - 15·b·m²·x·z + 10·a·x - 15·b·x - 8·a·m²·y·z + 12·b·m²·y·z - 8·a·y + 12·b·y =
= (m²·z + 1)·(2·a - 3·b)·(5·x - 4·y)
Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina