Casos de Factoreo: trinomio cuadrado perfecto. Factorización
Tercer caso de factoreo
Un trinomio cuadrado perfecto tiene la siguiente forma:
a² ± 2·a·b + b²
Este trinomio es el resultado de aplicar la propiedad distributiva al cuadrado de un binomio:
(a ± b)²
Así:
a² ± 2·a·b + b² = (a ± b)²
Para factorearlo aplicamos raíz cuadrada a los términos elevados al cuadrado o a una potencia par, en éste caso a² y b²:
√a² = ±a.
√b² = ±b
Luego verificamos que el resultado de éstas raíces multiplicado por 2 sea igual al tercer término (por el momento omitimos el signo ±):
2·a·b = 2·a·b (éste es un caso sencillo)
Con respecto al signo ± dependerá del signo de b, como regla debemos tomar el signo como sigue:
a² + 2·a·b + b² = (a + b)²
a² - 2·a·b + b² = (a - b)²
Así queda factoreado.
Ejemplo de resolución de un trinomio cuadrado perfecto
9·x4 - 12·x²·y + 4·y²
Solución
Identificamos los términos cuadrados y aplicamos raíz cuadrada:
√9·x4 = 3·x²
√4·y² = 2·y
El doble producto de los resultados anteriores debe ser igual 12·x²·y:
2·(3·x²)·(2·y) = 12·x²·y
Por lo tanto el polinomio factoreado es:
9·x4 - 12·x²·y + 4·y² = (3·x² - 2·y)²
Observen el signo negativo del segundo término.
Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina
¿Qué es un trinomio cuadrado perfecto?