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Cuatrinomio cubo perfecto

Cuarto caso de factoreo

Un cuatrinomio cubo perfecto tiene la siguiente forma:

a³ ± 3·a²·b + 3·a·b² ± b³

Este cuatrinomio es el resultado de aplicar la propiedad distributiva al cubo del binomio:

(a ± b)³

Así:

(a ± b)³ = a³ ± 3·a²·b + 3·a·b² ± b³

Para factorearlo, primero debemos buscar los términos elevados al cubo y hallar la raíz cúbica de ellos, en la ecuación los términos son a³ y b³:

a = ³

b = ³

A los otros dos términos los dividimos por 3 y verificamos que los resultados sean:

a·a·b y a·b·b

Luego armamos el binomio:

(a ± b)³

Con respecto al signo ± dependerá del signo de b, como regla debemos tomar el signo como sigue:

(a + b)³ = a³ + 3·a²·b + 3·a·b² + b³

(a - b)³ = a³ - 3·a²·b + 3·a·b² - b³

• Nota: o todos los términos son positivos o son negativos únicamene los términos dónde el exponente de b es impar.

Ejemplo de resolución de un cuatrinomio cubo perfecto

8·a³·x6 - 36·a²·x4·y³ + 54·a·x²·y6 - 27·y9

Solución

Observamos que es un cuatrinomio (4 monomios o términos) y que los término "8·a³·x6" y "27·y9", por lo que hallamos su raíz cúbica:

³8·a³·x6 = 2·a·x²

³-27·y9 = -3·y³

Luego dividimos el segundo y el tercer término entre 3 y analizamos:

(-36·a²·x4·y³)/3 = -12·a²·x4·y³ = -(2·a·x²)²·3·y³

(54·a·x²·y6)/3 = 18·a·x²·y6 = 2·a·x²·(3·y³)²

Queda verificado, presentamos el resultado:

8·a³·x6 - 36·a²·x4·y³ + 54·a·x²·y6 - 27·y9 = (2·a·x² - 3·y³)³

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¿Qué es el cuatrinomio cubo perfecto?

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