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Funciones de varias variables

Idea intuitiva: Hasta el momento hemos trabajado con función de una sola variable, es decir, que van de ℜ a ℜ. Ahora vamos a trabajar con funciones escalares, que reciben un vector de ℜn y devuelven un valor de ℜ, y con funciones vectoriales que reciben un vector de ℜn y devuelven uno de ℜm. La dificultad de estas funciones reside en que no tienen representación gráfica posible, a excepción de las funciones de ℜ² en ℜ, que se pueden representar como superficies tridimensionales. Además, los cálculos de límites se complican mucho llegando a ser imposibles. Por ello nos ocuparemos casi siempre de las más sencillas de este tipo de funciones, aunque toda la teoría se referirá a funciones de n variables.

Conceptos básicos

Definición:

Sea f:ℜn → ℜ una aplicación que a cada x ∈ ℜn le asigna f(x) ∈ ℜ. Entonces f:ℜn → ℜ es una función escalar de varias variables.

x = (x1, … xn) ∈ ℜn

f(x) = f(x1, … xn) = t ∈ ℜ

Notación: En el caso de que n = 2, haremos:

x1 = x, x2 = y

Y en el caso de que n = 3

x1 = x, x2 = y, x3 = z

Definición:

Sea f:ℜn → ℜ. Llamamos dominio de la función al conjunto de puntos de ℜn en el que está definida f:ℜn → ℜ

Ejemplo n° 1

f(x, y) = [ln (x² + y² - 25)]/(x + y²)

Dom(f) = {(x, y) ∈ ℜ²/ x² + y² > 25, x ≠ -y²}

Observación:

Sea f:ℜ² → ℜ. Llamamos gráfica de f al conjunto {(x, y, z) ∈ ℜ³ / z = f(x, y) ⊂ ℜ³}. A dicha gráfica la llamaremos superficie:

Superficies de nivel

Curvas de nivel

Ejemplo n° 2

Llamamos curvas de nivel a los puntos de la forma {(x, y) ∈ ℜ²/ f(x, y) = constante}. Son los puntos obtenidos al intersectar la superficie generada por f con un plano z = constante, y proyectarla en el plano.

Observación:

Sea f:ℜ³ → ℜ. Llamamos superficies de nivel de f a los conjuntos de la forma conjunto {(x, y, z) ∈ ℜ³ / f(x, y, z) = constante}.

Definición:

Sea f:ℜn → ℜm una aplicación que a cada x ∈ ℜn le asigna un vector f(x) = Y ∈ ℜm. Entonces f:ℜn → ℜm es una función vectorial de varias variables.

x = (x1, … xn) ∈ ℜn

f(x) = [f1(x), f2(x), …, fm(x)] ∈ ℜm, fi: ℜn → ℜ

Y a las f1:ℜn → ℜ se las llama funciones coordenadas.

Ejemplo n° 3

f(x, y) = [(x + y)/(x - y), sen (x + y), cos (x·y)] f:ℜ² → ℜ³

Definición:

Sea f:ℜn → ℜm. Llamamos Dominio de la función a la intersección de los dominios de las funciones coordenadas de f.

Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

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Definición de función escalar de varias variables. Superficies y curvas de nivel.

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