Problema n° 12 de funciones de varias variables

Problema n° 12

Calcular las derivadas direccionales de la siguiente función, en los puntos indicados y según las direcciones indicadas:

ƒ(x, y) = log y/log x

Desarrollo

Datos:

Máxima velocidad de crecimiento de una función ƒ(X) en un punto dado X₀ es:

||∇ƒ(X₀)||

Dirección de máxima velocidad de crecimiento de una función ƒ(X) en un punto dado X₀ es:

∇ƒ(X₀) ⇔ (si: ∇ƒ(X₀) ≠ 0)

Solución

El gradiente es:

∇ƒ(x, y) = [(-log y)/(x·log² x), 1/(y·log x)]

Los datos del gráfico son:

El gradiente calculado en el punto es:

∇ƒ(e, 1) = [(-log 1)/(e·log² e), 1/(1·log e)] = (-0/e·1, 1/1·1) = (0, 1)

Resultado, la derivada direccional es:

D_u(e, 1) = (0, 1)·(-√2/2, -√2/2) = -√2/2