Problema nº 12 de funciones de varias variables, derivadas direccionales

Enunciado del ejercicio nº 12

Calcular las derivadas direccionales de la siguiente función, en los puntos indicados y según las direcciones indicadas:

f(x, y) = log y/log x

Gráfico para el cálculo de la derivada direccional

Desarrollo

Datos:

Dᵤf(X) = ∇f(X)·u

Dᵤf(x, y) =∂f)·cos x·u +∂f)·cos y·u
∂x∂y

Para:

u = (u₁, u₂)

u₁ = cos x·u

u₂ = cos y·u

o

Dᵥf(X) = ∇f(X)·V
||V||

Para:

u =V
||V||

Máxima velocidad de crecimiento de una función f(X) en un punto dado X₀ es:

||∇f(X₀)||

Dirección de máxima velocidad de crecimiento de una función f(X) en un punto dado X₀ es:

∇f(X₀) ⇔ (si: ∇f(X₀) ≠ 0)

Solución

El gradiente es:

∇f(x, y) = [(-log y)/(x·log² x), 1/(y·log x)]

Los datos del gráfico son:

X₀ = (e, 1)

u = (u₁, u₂)

u₁ = cos x·u = cos 225° = -½·Raíz de dos

u₂ = sen y·u = sen 225° = -½·Raíz de dos

u = (-½·Raíz de dos, -½·Raíz de dos)

El gradiente calculado en el punto es:

∇f(e, 1) = [(-log 1)/(e·log² e), 1/(1·log e)] = (-0/e·1, 1/1·1) = (0, 1)

Resultado, la derivada direccional es:

Dᵤ(e, 1) = (0, 1)·(-½·Raíz de dos, -½·Raíz de dos) = -½·Raíz de dos

Ejemplo, cómo hallar las derivadas direccionales

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