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Ejemplo, cómo hallar las derivadas direccionales

Problema n° 12 de funciones de varias variables

Enunciado del ejercicio n° 12

Calcular las derivadas direccionales de la siguiente función, en los puntos indicados y según las direcciones indicadas:

f(x, y) = log y/log x

Gráfico para el cálculo de la derivada direccional

Desarrollo

Datos:

Duf(X) = ∇f(X)·u

Duf(x, y) =∂f)·cos x·u +∂f)·cos y·u
∂x∂y

Para:

u = (u1, u2)

u1 = cos x·u

u2 = cos y·u

o

Dvf(X) = ∇f(X)·V
||V||

Para:

u =V
||V||

Máxima velocidad de crecimiento de una función f(X) en un punto dado X0 es:

||∇f(X0)||

Dirección de máxima velocidad de crecimiento de una función f(X) en un punto dado X0 es:

∇f(X0) ⇔ (si: ∇f(X0) ≠ 0)

Solución

El gradiente es:

∇f(x, y) = [(-log y)/(x·log² x), 1/(y·log x)]

Los datos del gráfico son:

X0 = (e, 1)

u = (u1, u2)

u1 = cos x·u = cos 225° = -2/2

u2 = sen y·u = sen 225° = -2/2

u = (-2/2, -2/2)

El gradiente calculado en el punto es:

∇f(e, 1) = [(-log 1)/(e·log² e), 1/(1·log e)] = (-0/e·1, 1/1·1) = (0, 1)

Resultado, la derivada direccional es:

Du(e, 1) = (0, 1)·(-2/2, -2/2) = -2/2

Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

San Martín. Buenos Aires. Argentina.

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