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Guía de ejercicios de diferenciación. TP03

Funciones de varias variables: Solución del ejercicio n° 12 de derivadas direccionales. Dirección de máxima velocidad de crecimiento. Problema resuelto. Ejemplo, cómo hallar las derivadas direccionales

Problema n° 12 de funciones de varias variables.

Problema n° 12) Calcular las derivadas direccionales de la siguiente función, en los puntos indicados y según las direcciones indicadas:

ƒ(x, y) = log y/log x

Desarrollo

Datos:

Máxima velocidad de crecimiento de una función ƒ(X) en un punto dado X0 es:

||∇ƒ(X0)||

Dirección de máxima velocidad de crecimiento de una función ƒ(X) en un punto dado X0 es:

∇ƒ(X0) ⇔ (si: ∇ƒ(X0) ≠ 0)

Solución

El gradiente es:

∇ƒ(x, y) = [(-log y)/(x·log² x), 1/(y·log x)]

Los datos del gráfico son:

Cálculo de las derivadas direccionales

El gradiente calculado en el punto es:

∇ƒ(e, 1) = [(-log 1)/(e·log² e), 1/(1·log e)] = (-0/e·1, 1/1·1) = (0, 1)

Resultado, la derivada direccional es:

Du(e, 1) = (0, 1)·(-2/2, -2/2) = -2/2

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Signos utilizados en las fórmulas y cálculos:

  • Signo separador de miles: punto (.)
  • Signo separador decimal: coma (,)
  • Signo de multiplicación: punto medio (·) o × (para producto vectorial)
  • Signo de división: barra (/) o dos puntos (:)

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