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Solución del ejercicio n° 13 de recta tangente y plano normal. Ecuación cartesiana del plano normal. Problema resuelto. Ejemplo, cómo hallar la ecuación cartesiana del plano normal a la curva

Problema n° 13 de funciones de varias variables

Problema n° 13

Escribir la ecuación cartesiana del plano normal a la curva (cos 3·t, sen 3·t, t²) en el punto:

(0, 1, π²/4)

Si el problema esta bien puesto.

Desarrollo

Fórmulas:

Plano: Z·X'(t) = X(t)·X'(t)

Recta: Z = X(t) + μ·X'(t)

Solución

Debe verificar:

x = cos 3·t = 0 ⇒ cos 3·(-π/2) = 0

y = sen 3·t = 1 ⇒ sen 3·(-π/2) = 1

z = t² = π²/4 ⇒ t = π²/4 ⇒ t = ± π/2

Verifica para: -π/2

Luego:

C(-π/2) = (0, 1, π²/4)

C(t) = (cos 3·t, sen 3·t, t²)

C'(t) = (-3·sen 3·t, 3·cos 3·t, 2·t)

C'(-π/2) = [-3·sen 3·(-π/2), 3·cos 3·(-π/2), 2·(-π/2)]

C'(-π/2) = [-3·sen π/2, 3·cos (-3·π/2), -π]

C'(-π/2) = [-3, 0, -π]

Para el plano:

X·C'(-π/2) = C(-π/2)·C'(-π/2)

(x, y, z)·(-3, 0, -π) = (0, 1, π²/4)·(-3, 0, -π)

-3·x - π·z = -π·π²/4

Resultado, la ecuación cartesiana del plano normal a la curva es:

3·x + π·z = π³/4

Actualizado:

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