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Ejemplo, cómo hallar la recta tangente a una curva

Problema n° 17 de funciones de varias variables

Enunciado del ejercicio n° 17

Escribir la ecuación cartesiana del plano tangente y la ecuación vectorial de la recta normal a las siguientes superficies en los puntos indicados:

Desarrollo

Fórmulas:

Plano: Z·X'(t) = X(t)·X'(t)

Recta: Z = X(t) + μ·X'(t)

Solución

a)

z = e3·x·sen 5·y - z, en el punto (0, π/6, ½)

La función es:

f(x, y, z) = e3·x·sen 5·y -z

P ∈ f

El gradiente es:

∇f(x, y, z) = (3·e3·x·sen 5·y, 5·e3·x·cos 5·y, -1)

El valor del gradiente en el punto (vector normal a la superficie) es:

∇f(0, π/6, ½) = (3/2, 5·3/2, -1)

La ecuación vectorial de la recta normal es:

X = (0, π/6, ½) + μ·∇f(0, π/6, ½)

(x, y, z) = (0, π/6, ½) + μ·(3/2, 5·3/2, -1)

La ecuación del plano tangente es:

X·∇f(0, π/6, ½) = (0, π/6, ½)·∇f(0, π/6, ½)

(x, y, z)·(3/2, 5·3/2, -1) = (0, π/6, ½)·(3/2, 5·3/2, -1)

3·x/2 - 5·3·y/2 - z = - 5·3·π/12 - ½

3·x - 5·3·y - 2·z = - 5·3·π/6 - 1

b)

y = ex·cos z, en el punto (1, e, 0)

La función es:

f(x, y, z) = ex·cos z - y

P ∈ f

El gradiente es:

∇f(x, y, z) = (ex·cos z, -1, ex-sen z)

El valor del gradiente en el punto (vector normal a la superficie) es:

∇f(1, e, 0) = (e¹·cos 0, -1, e¹ - sen 0) ⇒ ∇f(1, e, 0) = (e·1, -1, -e·0) ⇒ ∇f(1, e, 0) = (e, -1, 0)

La ecuación vectorial de la recta normal es:

X = (1, e, 0) + μ·∇f(1, e, 0)

(x, y, z) = (1, e, 0) + μ·(e, -1, 0)

La ecuación del plano tangente es:

X·∇f(1, e, 0) = (1, e, 0)·∇f(1, e, 0)

(x, y, z)·(e, -1, 0) = (1, e, 0)·(e, -1, 0)

e·x - y = e - e

e·x - y = 0

c)

x² + ey = z, en el punto (1, 0, 2)

La función es:

f(x, y, z) = x² + ey = z

P ∈ f

El gradiente es:

∇f(x, y, z) = (2·x, ey, -1)

El valor del gradiente en el punto (vector normal a la superficie) es:

∇f(1, 0, 2) = (2·1, e°, -1) ⇒ ∇f(1, 0, 2) = (2, 1, -1)

La ecuación vectorial de la recta normal es:

X = (1, 0, 2) + μ·∇f(1, 0, 2)

(x, y, z) = (1, 0, 2) + μ·(2, 1, -1)

La ecuación del plano tangente es:

X·∇f(1, 0, 2) = (1, 0, 2)·∇f(1, 0, 2)

(x, y, z)·(2, 1, -1) = (1, 0, 2)·(2, 1, -1)

2·x + y - z = 2 - 2

2·x + y - z = 0

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