Problema n° 17 de funciones de varias variables

Problema n° 17

Escribir la ecuación cartesiana del plano tangente y la ecuación vectorial de la recta normal a las siguientes superficies en los puntos indicados:

Desarrollo

Fórmulas:

Plano: Z·X'(t) = X(t)·X'(t)

Recta: Z = X(t) + μ·X'(t)

Solución

a.

z = e^3·x·sen 5·y - z, en el punto (0, π/6, ½)

La función es:

ƒ(x, y, z) = e^3·x·sen 5·y -z

P ∈ ƒ

El gradiente es:

∇ƒ(x, y, z) = (3·e^3·x·sen 5·y, 5·e^3·x·cos 5·y, -1)

El valor del gradiente en el punto (vector normal a la superficie) es:

∇ƒ(0, π/6, ½) = (3/2, 5·√3/2, -1)

La ecuación vectorial de la recta normal es:

X = (0, π/6, ½) + μ·∇ƒ(0, π/6, ½)

(x, y, z) = (0, π/6, ½) + μ·(3/2, 5·√3/2, -1)

La ecuación del plano tangente es:

X·∇ƒ(0, π/6, ½) = (0, π/6, ½)·∇ƒ(0, π/6, ½)

(x, y, z)·(3/2, 5·√3/2, -1) = (0, π/6, ½)·(3/2, 5·√3/2, -1)

3·x/2 - 5·√3·y/2 - z = - 5·√3·π/12 - ½

3·x - 5·√3·y - 2·z = - 5·√3·π/6 - 1

b.

y = e^x·cos z, en el punto (1, e, 0)

La función es:

ƒ(x, y, z) = e^x·cos z - y

P ∈ ƒ

El gradiente es:

∇ƒ(x, y, z) = (e^x·cos z, -1, e^x-sen z)

El valor del gradiente en el punto (vector normal a la superficie) es:

∇ƒ(1, e, 0) = (e¹·cos 0, -1, e¹ - sen 0) ⇒ ∇ƒ(1, e, 0) = (e·1, -1, -e·0) ⇒ ∇ƒ(1, e, 0) = (e, -1, 0)

La ecuación vectorial de la recta normal es:

X = (1, e, 0) + μ·∇ƒ(1, e, 0)

(x, y, z) = (1, e, 0) + μ·(e, -1, 0)

La ecuación del plano tangente es:

X·∇ƒ(1, e, 0) = (1, e, 0)·∇ƒ(1, e, 0)

(x, y, z)·(e, -1, 0) = (1, e, 0)·(e, -1, 0)

e·x - y = e - e

e·x - y = 0

c.

x² + e^y = z, en el punto (1, 0, 2)

La función es:

ƒ(x, y, z) = x² + e^y = z

P ∈ ƒ

El gradiente es:

∇ƒ(x, y, z) = (2·x, e^y, -1)

El valor del gradiente en el punto (vector normal a la superficie) es:

∇ƒ(1, 0, 2) = (2·1, e°, -1) ⇒ ∇ƒ(1, 0, 2) = (2, 1, -1)

La ecuación vectorial de la recta normal es:

X = (1, 0, 2) + μ·∇ƒ(1, 0, 2)

(x, y, z) = (1, 0, 2) + μ·(2, 1, -1)

La ecuación del plano tangente es:

X·∇ƒ(1, 0, 2) = (1, 0, 2)·∇ƒ(1, 0, 2)

(x, y, z)·(2, 1, -1) = (1, 0, 2)·(2, 1, -1)

2·x + y - z = 2 - 2

2·x + y - z = 0